Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Paso 1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 17$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 17 \arctan (x)$ con respecto a $x$ es $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 1.3.3

Combina $- 17$ y $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Paso 1.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Combina los términos.

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Paso 1.4.1.1

Para escribir $\frac{4}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Paso 1.4.1.2

Para escribir $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 1.4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (1 + x^{2})$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.1.3.1

Multiplica $\frac{4}{x}$ por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 1.4.1.3.2

Multiplica $\frac{17}{1 + x^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Paso 1.4.1.3.3

Reordena los factores de $(1 + x^{2}) x$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Paso 1.4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = - 17 x + 4 (1 + x^{2})$ y $g (x) = x (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 17 x + 4 (1 + x^{2})$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [4 (1 + x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (- 17 x) + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.2.2

Como $- 17$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 17 x$ con respecto a $x$ es $- 17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 17$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.2.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 (1 + x^{2})$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.2.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.2.8

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (2 x)) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.2.10

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (2 x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{1 + 1} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \cdot 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.10

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.10.1

Multiplica $1 + x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + 1 + x^{2})}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.10.2

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la regla del producto a $x (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.5.1.1.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.5.1.1.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.11.5.1.1.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{(x + x^{1 + 2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.1.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x^{3}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.2

Expande $(x + x^{3}) (- 17 + 8 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.11.5.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (- 17 + 8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.5.1.3.1

Mueve $- 17$ a la izquierda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 \cdot x + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x \cdot x + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.3.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.5.1.3.3.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 (x \cdot x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.3.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.3.4

Mueve $- 17$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 \cdot x^{3} + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{3} x + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.3.6

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.5.1.3.6.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.3.6.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 2.11.5.1.3.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.3.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{1 + 3} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.3.6.3

Suma $1$ y $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.5.1.4.1

Multiplica $- 17$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.4.2

Multiplica $- (4 \cdot 1)$ .

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Paso 2.11.5.1.4.2.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 1 \cdot 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.4.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.5

Expande $(17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 x (3 x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.5.1.6.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x \cdot x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.5.1.6.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.11.5.1.6.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{2 + 1}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{3}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.3

Multiplica $17$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.4

Multiplica $17$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.5

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.6

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.8

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.5.1.6.8.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2 + 2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.8.3

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{4}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.9

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.6.10

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.1.7

Resta $4 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.2

Combina los términos opuestos en $- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}$ .

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Paso 2.11.5.2.1

Suma $- 17 x$ y $17 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 0 - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.2.2

Suma $8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.3

Resta $16 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.4

Suma $- 17 x^{3}$ y $51 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.5.5

Resta $12 x^{4}$ de $8 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.6

Factoriza $2$ de $- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4$ .

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Paso 2.11.6.1

Factoriza $2$ de $- 4 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.6.2

Factoriza $2$ de $34 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.6.3

Factoriza $2$ de $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.6.4

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.6.5

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.6.6

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.6.7

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.7

Factoriza $- 1$ de $- 2 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.8

Factoriza $- 1$ de $17 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.9

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.10

Factoriza $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.11

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.12

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 \cdot 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.13

Factoriza $- 1$ de $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.14

Reescribe $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ como $- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 2.11.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \ln (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Paso 4.1.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Paso 4.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 17$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 17 \arctan (x)$ con respecto a $x$ es $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Paso 4.1.3.2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Paso 4.1.3.3

Combina $- 17$ y $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Paso 4.1.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Combina los términos.

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Paso 4.1.4.1.1

Para escribir $\frac{4}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Paso 4.1.4.1.2

Para escribir $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 4.1.4.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (1 + x^{2})$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.4.1.3.1

Multiplica $\frac{4}{x}$ por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 4.1.4.1.3.2

Multiplica $\frac{17}{1 + x^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Paso 4.1.4.1.3.3

Reordena los factores de $(1 + x^{2}) x$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Paso 4.1.4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Paso 4.1.4.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$- 17 x + 4 (1 + x^{2}) = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2} = 0$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$- 17 x + 4 + 4 x^{2} = 0$

Paso 5.3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.3.2.1

Reordena los términos.

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Paso 5.3.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ y cuya suma es $b = - 17$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $- 17$ de $- 17 x$ .

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe $- 17$ como $- 1$ más $- 16$

$4 x^{2} + (- 1 - 16) x + 4 = 0$

Paso 5.3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 1 x - 16 x + 4 = 0$

Paso 5.3.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.3.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 x^{2} - 1 x) - 16 x + 4 = 0$

Paso 5.3.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (4 x - 1) - 4 (4 x - 1) = 0$

Paso 5.3.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x - 4) = 0$

Paso 5.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 5.3.4

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.4.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 5.3.4.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 5.3.4.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5.3.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 5.3.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x - 1) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x (1 + x^{2}) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 + x^{2} = 0$

Paso 6.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.2.3

Establece $1 + x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.2.3.1

Establece $1 + x^{2}$ igual a $0$ .

$1 + x^{2} = 0$

Paso 6.2.3.2

Resuelve $1 + x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 6.2.3.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 6.2.3.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 6.2.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.2.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 6.2.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 6.2.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 6.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (1 + x^{2}) = 0$ verdadera.

$x = 0, i, - i$

Paso 6.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2 (2 {(\frac{1}{4})}^{4} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (2 \frac{1^{4}}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{2 (2 (\frac{1}{256}) - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.4.1

Factoriza $2$ de $256$ .

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 (128)} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.4.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 \cdot 128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.4.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1^{3}}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.7

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 (\frac{1}{64}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.8

Combina $- 17$ y $\frac{1}{64}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} + \frac{- 17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.10

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.12

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 (\frac{1}{16}) + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.13

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.13.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 (4)} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.13.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.13.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.14

Para escribir $- \frac{17}{64}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.15

Escribe cada expresión con un denominador común de $128$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.15.1

Multiplica $\frac{17}{64}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{64 \cdot 2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.15.2

Multiplica $64$ por $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2 (\frac{1 - 17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.17

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.17.1

Multiplica $- 17$ por $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1 - 34}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.17.2

Resta $34$ de $1$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.18

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.19

Escribe cada expresión con un denominador común de $128$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.19.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{4 \cdot 32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.19.2

Multiplica $4$ por $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2 (\frac{- 33 + 32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.21

Suma $- 33$ y $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.22

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2 \cdot \frac{128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.23

Combina $2$ y $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + \frac{2 \cdot 128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2 \frac{- 1 + 2 \cdot 128}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.25

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.25.1

Multiplica $2$ por $128$ .

$- \frac{2 \frac{- 1 + 256}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.1.25.2

Suma $- 1$ y $256$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Paso 9.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1^{2}}{4^{2}})}^{2}}$

Paso 9.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{4^{2}})}^{2}}$

Paso 9.2.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{16})}^{2}}$

Paso 9.2.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16}{16} + \frac{1}{16})}^{2}}$

Paso 9.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16 + 1}{16})}^{2}}$

Paso 9.2.7

Suma $16$ y $1$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{17}{16})}^{2}}$

Paso 9.2.8

Aplica la regla del producto a $\frac{17}{16}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Paso 9.2.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Paso 9.2.10

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Paso 9.2.11

Eleva $17$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{16^{2}}}$

Paso 9.2.12

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Paso 9.3

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Combina $2$ y $\frac{255}{128}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Paso 9.3.2

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $\frac{289}{256}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Paso 9.3.3

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.3.1

Multiplica $2$ por $255$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Paso 9.3.3.2

Multiplica $16$ por $256$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Paso 9.3.4

Cancela el factor común de $510$ y $128$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.4.1

Factoriza $2$ de $510$ .

$- \frac{\frac{2 (255)}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Paso 9.3.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $128$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Paso 9.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Paso 9.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{\frac{255}{64}}{\frac{289}{4096}}$

Paso 9.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (\frac{255}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $17$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1

Factoriza $17$ de $255$ .

$- (\frac{17 (15)}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Paso 9.5.2

Factoriza $17$ de $289$ .

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Paso 9.5.3

Cancela el factor común.

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Paso 9.5.4

Reescribe la expresión.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{4096}{17})$

Paso 9.6

Cancela el factor común de $64$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.6.1

Factoriza $64$ de $4096$ .

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 (64)}{17})$

Paso 9.6.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 \cdot 64}{17})$

Paso 9.6.3

Reescribe la expresión.

$- (15 (\frac{64}{17}))$

Paso 9.7

Combina $15$ y $\frac{64}{17}$ .

$- \frac{15 \cdot 64}{17}$

Paso 9.8

Multiplica $15$ por $64$ .

$- \frac{960}{17}$

Paso 10

$x = \frac{1}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{1}{4}$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{4}) = 4 \ln (\frac{1}{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Simplifica $4 \ln (\frac{1}{4})$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{1}{4}) = \ln ({(\frac{1}{4})}^{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Paso 11.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1^{4}}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Paso 11.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Paso 11.2.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Paso 11.2.1.5

Evalúa $\arctan (\frac{1}{4})$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \cdot 0.24497866$

Paso 11.2.1.6

Multiplica $- 17$ por $0.24497866$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 4.16463727$

Paso 11.2.2

Resta $4.16463727$ de $\ln (\frac{1}{256})$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 9.70981471$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $- 9.70981471$ .

$y = - 9.70981471$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 4$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Multiplica $4$ por ${(4)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Multiplica $4$ por ${(4)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1} {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Paso 13.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1 + 2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Paso 13.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{3} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Paso 13.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 256 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Paso 13.2.2

Multiplica $2$ por $256$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Paso 13.2.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 64 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Paso 13.2.4

Multiplica $- 17$ por $64$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Paso 13.2.5

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Paso 13.2.6

Resta $1088$ de $512$ .

$- \frac{2 (- 576 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Paso 13.2.7

Suma $- 576$ y $64$ .

$- \frac{2 (- 512 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Paso 13.2.8

Suma $- 512$ y $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Paso 13.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 16)}^{2}}$

Paso 13.3.2

Suma $1$ y $16$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} \cdot 17^{2}}$

Paso 13.3.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 17^{2}}$

Paso 13.3.4

Eleva $17$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 289}$

Paso 13.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.4.1

Multiplica $2$ por $- 510$ .

$- \frac{- 1020}{16 \cdot 289}$

Paso 13.4.2

Multiplica $16$ por $289$ .

$- \frac{- 1020}{4624}$

Paso 13.4.3

Cancela el factor común de $- 1020$ y $4624$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.4.3.1

Factoriza $68$ de $- 1020$ .

$- \frac{68 (- 15)}{4624}$

Paso 13.4.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.4.3.2.1

Factoriza $68$ de $4624$ .

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Paso 13.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Paso 13.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{- 15}{68}$

Paso 13.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{15}{68}$

Paso 13.5

Multiplica $- - \frac{15}{68}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{15}{68})$

Paso 13.5.2

Multiplica $\frac{15}{68}$ por $1$ .

$\frac{15}{68}$

Paso 14

$x = 4$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 4$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = 4 \ln (4) - 17 \arctan (4)$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1

Simplifica $4 \ln (4)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$f (4) = \ln (4^{4}) - 17 \arctan (4)$

Paso 15.2.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \arctan (4)$

Paso 15.2.1.3

Evalúa $\arctan (4)$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \cdot 1.32581766$

Paso 15.2.1.4

Multiplica $- 17$ por $1.32581766$ .

$f (4) = \ln (256) - 22.53890028$

Paso 15.2.2

Resta $22.53890028$ de $\ln (256)$ .

$f (4) = - 16.99372283$

Paso 15.2.3

La respuesta final es $- 16.99372283$ .

$y = - 16.99372283$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ .

$(\frac{1}{4}, - 9.70981471)$ es un máximo local

$(4, - 16.99372283)$ es un mínimo local

Paso 17