Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 4 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 1.3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

Paso 1.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$- 4 \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \cos (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.2.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.2.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.2.6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.2.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.2.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Paso 4

Factoriza $4 \sin (x)$ de $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ .

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Paso 4.1

Factoriza $4 \sin (x)$ de $4 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) = 0$

Paso 4.2

Factoriza $4 \sin (x)$ de $- 4 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Paso 4.3

Factoriza $4 \sin (x)$ de $4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1$ .

$4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 6

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 6.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 6.2.5

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, π$

Paso 7

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $\cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = 1$

Paso 7.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7.2.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 7.2.5

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 7.2.6

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, π, 2 π$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 \cos^{2} (0) - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Paso 10.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Paso 10.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Paso 10.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2} - 4 \cos (0)$

Paso 10.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 - 4 \cdot 0 - 4 \cos (0)$

Paso 10.1.6

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$4 + 0 - 4 \cos (0)$

Paso 10.1.7

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$4 + 0 - 4 \cdot 1$

Paso 10.1.8

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$4 + 0 - 4$

Paso 10.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 10.2.1

Suma $4$ y $0$ .

$4 - 4$

Paso 10.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$0$

Paso 11

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 11.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Paso 11.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 11.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 4 \cos (- 2) \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Paso 11.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.2.1.1

Evalúa $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 4 \sin (- 2)$

Paso 11.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Paso 11.2.2.1.3

Evalúa $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \cdot - 0.90929742 - 4 \sin (- 2)$

Paso 11.2.2.1.4

Multiplica $- 1.66458734$ por $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \sin (- 2)$

Paso 11.2.2.1.5

Evalúa $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \cdot - 0.90929742$

Paso 11.2.2.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 + 3.6371897$

Paso 11.2.2.2

Suma $1.51360499$ y $3.6371897$ .

$f' (- 2) = 5.15079469$

Paso 11.2.2.3

La respuesta final es $5.15079469$ .

$5.15079469$

Paso 11.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, π)$ en la primera derivada $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 11.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 4 \cos (2) \sin (2) - 4 \sin (2)$

Paso 11.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.2.1.1

Evalúa $\cos (2)$ .

$f' (2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 4 \sin (2)$

Paso 11.3.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 0.41614683$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \sin (2) - 4 \sin (2)$

Paso 11.3.2.1.3

Evalúa $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \cdot 0.90929742 - 4 \sin (2)$

Paso 11.3.2.1.4

Multiplica $- 1.66458734$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \sin (2)$

Paso 11.3.2.1.5

Evalúa $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \cdot 0.90929742$

Paso 11.3.2.1.6

Multiplica $- 4$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 3.6371897$

Paso 11.3.2.2

Resta $3.6371897$ de $- 1.51360499$ .

$f' (2) = - 5.15079469$

Paso 11.3.2.3

La respuesta final es $- 5.15079469$ .

$- 5.15079469$

Paso 11.4

Sustituye cualquier número, como $5$ , del intervalo $(π, 2 π)$ en la primera derivada $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 11.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = 4 \cos (5) \sin (5) - 4 \sin (5)$

Paso 11.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.4.2.1.1

Evalúa $\cos (5)$ .

$f' (5) = 4 \cdot (0.28366218 \sin (5)) - 4 \sin (5)$

Paso 11.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $0.28366218$ .

$f' (5) = 1.13464874 \sin (5) - 4 \sin (5)$

Paso 11.4.2.1.3

Evalúa $\sin (5)$ .

$f' (5) = 1.13464874 \cdot - 0.95892427 - 4 \sin (5)$

Paso 11.4.2.1.4

Multiplica $1.13464874$ por $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \sin (5)$

Paso 11.4.2.1.5

Evalúa $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \cdot - 0.95892427$

Paso 11.4.2.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 + 3.83569709$

Paso 11.4.2.2

Suma $- 1.08804222$ y $3.83569709$ .

$f' (5) = 2.74765487$

Paso 11.4.2.3

La respuesta final es $2.74765487$ .

$2.74765487$

Paso 11.5

Sustituye cualquier número, como $9$ , del intervalo $(2 π, \infty)$ en la primera derivada $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 11.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f' (9) = 4 \cos (9) \sin (9) - 4 \sin (9)$

Paso 11.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.5.2.1.1

Evalúa $\cos (9)$ .

$f' (9) = 4 \cdot (- 0.91113026 \sin (9)) - 4 \sin (9)$

Paso 11.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 0.91113026$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \sin (9) - 4 \sin (9)$

Paso 11.5.2.1.3

Evalúa $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \cdot 0.41211848 - 4 \sin (9)$

Paso 11.5.2.1.4

Multiplica $- 3.64452104$ por $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \sin (9)$

Paso 11.5.2.1.5

Evalúa $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \cdot 0.41211848$

Paso 11.5.2.1.6

Multiplica $- 4$ por $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 1.64847394$

Paso 11.5.2.2

Resta $1.64847394$ de $- 1.50197449$ .

$f' (9) = - 3.15044843$

Paso 11.5.2.3

La respuesta final es $- 3.15044843$ .

$- 3.15044843$

Paso 11.6

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 11.7

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = π$ , $x = π$ es un mínimo local.

$x = π$ es un mínimo local

Paso 11.8

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 2 π$ , $x = 2 π$ es un máximo local.

$x = 2 π$ es un máximo local

Paso 11.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ es un máximo local

$x = π$ es un mínimo local

$x = 2 π$ es un máximo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = π$ es un mínimo local

$x = 2 π$ es un máximo local

Paso 12