Cálculo Ejemplos

$f (x) = 48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$48 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$48 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.9

Combina $48$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{48 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.10

Multiplica $2$ por $48$ .

$\frac{96 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{96}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.12

Factoriza $3$ de $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 (2 x)$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 18 x$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18 x$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 18$ por $1$ .

$f'' (x) = - 18 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 2.3.5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 2.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Paso 2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Paso 2.3.9.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Paso 2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Paso 2.3.11

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 2.3.12

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 2.3.13

Multiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.13.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 2.3.13.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Paso 2.3.13.3

Resta $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Paso 2.3.13.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 2.3.14

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Paso 2.3.15

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$f'' (x) = - 18 - 32 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.3.16

Combina $- 32$ y $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - 18 + \frac{- 32}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.3.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - 18 - \frac{32}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$48 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$48 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.9

Combina $48$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{48 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.10

Multiplica $2$ por $48$ .

$\frac{96 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{96}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.12

Factoriza $3$ de $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 (2 x)$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 18 x$

Paso 4.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{\frac{1}{3}}, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 x \cdot x^{\frac{1}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.3.2.1.1.1

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 (x^{\frac{1}{3}} x) + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 18 (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 18 x^{\frac{1}{3} + 1} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.2.1.1.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- 18 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.2.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 18 x^{\frac{1 + 3}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.2.1.1.5

Suma $1$ y $3$ .

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + 32 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + 32 = 0$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Resta $32$ de ambos lados de la ecuación.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} = - 32$

Paso 5.4.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{3}{4}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(- 18 x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica ${(- 18 x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 5.4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- 18 x^{\frac{4}{3}}$ .

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} {(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.4.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 5.4.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.4.3.1.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.4.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.4.3.1.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.4.3.1.2.3.1

Cancela el factor común.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.4.3.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{1} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.4.3.1.3

Simplifica.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.4.3.1.4

Reordena los factores en ${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x$ .

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.4.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.4.4.2

Divide cada término en $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ por ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.2.1

Divide cada término en $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ por ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 5.4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 5.4.4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 5.4.4.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Paso 5.4.4.4

Divide cada término en $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ por ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.4.1

Divide cada término en $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ por ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 5.4.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 5.4.4.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 5.4.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.4.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 5.4.4.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}, - \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Paso 5.5

Excluye las soluciones que no hagan que $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- 18 x + \frac{32}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$- 18 x + \frac{32}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{32}{\sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 18 - \frac{32}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$- 18 - \frac{32}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{4}}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0}$

Paso 9.3.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$- 18 - \frac{32}{0}$

Paso 9.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$- 18 - \frac{32}{0}$

Paso 9.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - 18 \cdot - 2 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Multiplica $- 18$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.2.2

La respuesta final es $36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, \infty)$ en la primera derivada $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - 18 \cdot 2 + \frac{32}{{(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Multiplica $- 18$ por $2$ .

$f' (2) = - 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.3.2.2

La respuesta final es $- 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.4

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 11