Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{7} - 6 x^{\frac{3}{2}} - x^{- 4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{7} - 6 x^{\frac{3}{2}} - x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{7}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{7}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$4 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $7$ por $4$ .

$28 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$28 x^{6} - 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$28 x^{6} - 6 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$28 x^{6} - 6 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.8

Combina $- 6$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$28 x^{6} + \frac{- 6 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.9

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$28 x^{6} + \frac{- 18 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.10

Factoriza $2$ de $- 18 x^{\frac{1}{2}}$ .

$28 x^{6} + \frac{2 (- 9 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.11

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$28 x^{6} + \frac{2 (- 9 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.11.2

Cancela el factor común.

$28 x^{6} + \frac{2 (- 9 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.11.3

Reescribe la expresión.

$28 x^{6} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.3.11.4

Divide $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{- 4}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{- 4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} - (- 4 x^{- 5})$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- 5}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{x^{5}}$

Paso 1.5.2

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$28 x^{6} - 9 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^{5}}$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$28 x^{6} + \frac{4}{x^{5}} - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $28 x^{6} + \frac{4}{x^{5}} - 9 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [28 x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (28 x^{6}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [28 x^{6}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $28$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28 x^{6}$ con respecto a $x$ es $28 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 28 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$f'' (x) = 28 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.2.3

Multiplica $6$ por $28$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{5}}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4}{x^{5}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{5}$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{5}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{5}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Paso 2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.6

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.7

Multiplica $x^{- 10}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.7.1

Mueve $x^{4}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.7.3

Resta $10$ de $4$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + 4 (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.8

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 2.4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 2.4.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 2.4.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - 9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.4.9

Combina $- 9$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} + \frac{- 9 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.4.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} + \frac{- 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 x^{- 6} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} - 20 \frac{1}{x^{6}} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Combina $- 20$ y $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = 168 x^{5} + \frac{- 20}{x^{6}} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 168 x^{5} - \frac{20}{x^{6}} - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$28 x^{6} + \frac{4}{x^{5}} - 9 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6