Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4.1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4.1 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$4.1 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1.6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1.6 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 (- \sin (x))$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 1.6$ .

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4.1 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4.1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4.1 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $4.1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 4.1 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4.1 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 1$ por $4.1$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $1.6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1.6 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $1.6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x) = 0$

Paso 4

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 5.2

Divide $4.1$ por $1$ .

$4.1 + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 6

Separa las fracciones.

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 7

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 8

Divide $1.6$ por $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 9

Separa las fracciones.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 10

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 11

Divide $0$ por $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 12

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0$

Paso 13

Resta $4.1$ de ambos lados de la ecuación.

$1.6 \tan (x) = - 4.1$

Paso 14

Divide cada término en $1.6 \tan (x) = - 4.1$ por $1.6$ y simplifica.

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Paso 14.1

Divide cada término en $1.6 \tan (x) = - 4.1$ por $1.6$ .

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Paso 14.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.1

Cancela el factor común de $1.6$ .

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Paso 14.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Paso 14.2.1.2

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 4.1}{1.6}$

Paso 14.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.3.1

Divide $- 4.1$ por $1.6$ .

$\tan (x) = - 2.5625$

Paso 15

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 2.5625)$

Paso 16

Simplifica el lado derecho.

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Paso 16.1

Evalúa $\arctan (- 2.5625)$ .

$x = - 1.19872856$

Paso 17

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - 1.19872856 - (3.14159265)$

Paso 18

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 18.1

Suma $2 π$ a $- 1.19872856 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.19872856 - (3.14159265) + 2 π$

Paso 18.2

El ángulo resultante de $1.94286408$ es positivo y coterminal con $- 1.19872856 - (3.14159265)$ .

$x = 1.94286408$

Paso 19

La solución a la ecuación $x = - 1.19872856$ .

$x = - 1.19872856, 1.94286408$

Paso 20

Evalúa la segunda derivada en $x = - 1.19872856$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4.1 \sin (- 1.19872856) + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Paso 21

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 21.1

Simplifica cada término.

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Paso 21.1.1

Multiplica $- 4.1$ por $\sin (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Paso 21.1.2

Multiplica $1.6$ por $\cos (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 0.58166797$

Paso 21.2

Suma $3.81946823$ y $0.58166797$ .

$4.40113621$

Paso 22

$x = - 1.19872856$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 1.19872856$ es un mínimo local

Paso 23

Obtén el valor de y cuando $x = - 1.19872856$ .

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Paso 23.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.19872856$ en la expresión.

$f (- 1.19872856) = 4.1 \sin (- 1.19872856) - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Paso 23.2

Simplifica el resultado.

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Paso 23.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 23.2.1.1

Multiplica $4.1$ por $\sin (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Paso 23.2.1.2

Multiplica $- 1.6$ por $\cos (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 0.58166797$

Paso 23.2.2

Resta $0.58166797$ de $- 3.81946823$ .

$f (- 1.19872856) = - 4.40113621$

Paso 23.2.3

La respuesta final es $- 4.40113621$ .

$y = - 4.40113621$

Paso 24

Evalúa la segunda derivada en $x = 1.94286408$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 4.1 \sin (1.94286408) + 1.6 \cos (1.94286408)$

Paso 25

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 25.1

Simplifica cada término.

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Paso 25.1.1

Multiplica $- 4.1$ por $\sin (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 + 1.6 \cos (1.94286408)$

Paso 25.1.2

Multiplica $1.6$ por $\cos (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 - 0.58166797$

Paso 25.2

Resta $0.58166797$ de $- 3.81946823$ .

$- 4.40113621$

Paso 26

$x = 1.94286408$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 1.94286408$ es un máximo local

Paso 27

Obtén el valor de y cuando $x = 1.94286408$ .

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Paso 27.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.94286408$ en la expresión.

$f (1.94286408) = 4.1 \sin (1.94286408) - 1.6 \cos (1.94286408)$

Paso 27.2

Simplifica el resultado.

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Paso 27.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 27.2.1.1

Multiplica $4.1$ por $\sin (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 - 1.6 \cos (1.94286408)$

Paso 27.2.1.2

Multiplica $- 1.6$ por $\cos (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 + 0.58166797$

Paso 27.2.2

Suma $3.81946823$ y $0.58166797$ .

$f (1.94286408) = 4.40113621$

Paso 27.2.3

La respuesta final es $4.40113621$ .

$y = 4.40113621$

Paso 28

Estos son los extremos locales de $f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ .

$(- 1.19872856, - 4.40113621)$ es un mínimo local

$(1.94286408, 4.40113621)$ es un máximo local

Paso 29