Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \frac{x}{x + 5}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (2 \frac{x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Paso 1.3

Combina fracciones.

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Paso 1.3.1

Combina $2$ y $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{2 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Paso 1.3.2

Combina $\frac{2 x}{x + 5}$ y $4$ .

$\frac{2 x \cdot 4}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 5$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.5

Diferencia.

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Paso 1.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.5.2

Multiplica $x + 5$ por $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.5.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.5.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.5.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.5.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.5.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.5.6.4

Suma $0$ y $5$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.5.6.5

Multiplica $\frac{8 x}{x + 5}$ por $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{8 x \cdot 5}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.5.6.6

Multiplica $5$ por $8$ .

$\frac{40 x}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.6

Multiplica $x + 5$ por ${(x + 5)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1

Multiplica $x + 5$ por ${(x + 5)}^{2}$ .

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Paso 1.6.1.1

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1 + 2}}$

Paso 1.6.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $40$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $40 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 5)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = 40 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x + 5)}^{3}})$

Paso 2.2

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{({(x + 5)}^{3})}^{2}})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 5)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{3 \cdot 2}})$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{6}})$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{6}})$

Paso 2.3.3

Multiplica ${(x + 5)}^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x + 5)}^{3}}{{(x + 5)}^{6}})$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x + 5$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 5$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 5$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - x (3 {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Paso 2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{3} - 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Paso 2.5.2

Factoriza ${(x + 5)}^{2}$ de ${(x + 5)}^{3} - 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5])$ .

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Paso 2.5.2.1

Factoriza ${(x + 5)}^{2}$ de ${(x + 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5) - 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{6}})$

Paso 2.5.2.2

Factoriza ${(x + 5)}^{2}$ de $- 3 x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5])$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5) + {(x + 5)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{6}})$

Paso 2.5.2.3

Factoriza ${(x + 5)}^{2}$ de ${(x + 5)}^{2} (x + 5) + {(x + 5)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x + 5]))$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{6}})$

Paso 2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.1

Factoriza ${(x + 5)}^{2}$ de ${(x + 5)}^{6}$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{2} {(x + 5)}^{4}})$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 40 (\frac{{(x + 5)}^{2} (x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5)))}{{(x + 5)}^{2} {(x + 5)}^{4}})$

Paso 2.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x + 5))}{{(x + 5)}^{4}})$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(x + 5)}^{4}})$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (5))}{{(x + 5)}^{4}})$

Paso 2.9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{4}})$

Paso 2.10

Simplifica los términos.

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Paso 2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x \cdot 1}{{(x + 5)}^{4}})$

Paso 2.10.2

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{x + 5 - 3 x}{{(x + 5)}^{4}})$

Paso 2.10.3

Resta $3 x$ de $x$ .

$f'' (x) = 40 (\frac{- 2 x + 5}{{(x + 5)}^{4}})$

Paso 2.10.4

Combina $40$ y $\frac{- 2 x + 5}{{(x + 5)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x + 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x) + 40 \cdot 5}{{(x + 5)}^{4}}$

Paso 2.11.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.2.1

Multiplica $- 2$ por $40$ .

$f'' (x) = \frac{- 80 x + 40 \cdot 5}{{(x + 5)}^{4}}$

Paso 2.11.2.2

Multiplica $40$ por $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 80 x + 200}{{(x + 5)}^{4}}$

Paso 2.11.3

Factoriza $40$ de $- 80 x + 200$ .

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Paso 2.11.3.1

Factoriza $40$ de $- 80 x$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x) + 200}{{(x + 5)}^{4}}$

Paso 2.11.3.2

Factoriza $40$ de $200$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x) + 40 (5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Paso 2.11.3.3

Factoriza $40$ de $40 (- 2 x) + 40 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 2 x + 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Paso 2.11.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- (2 x) + 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Paso 2.11.5

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- (2 x) - 1 \cdot - 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Paso 2.11.6

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- (2 x - 5))}{{(x + 5)}^{4}}$

Paso 2.11.7

Reescribe $- (2 x - 5)$ como $- 1 (2 x - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{40 (- 1 (2 x - 5))}{{(x + 5)}^{4}}$

Paso 2.11.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{40 (2 x - 5)}{{(x + 5)}^{4}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{x + 5})}^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \frac{x}{x + 5}$ .

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Paso 4.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Paso 4.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (2 \frac{x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Paso 4.1.3

Combina fracciones.

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Paso 4.1.3.1

Combina $2$ y $\frac{x}{x + 5}$ .

$4 (\frac{2 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}])$

Paso 4.1.3.2

Combina $\frac{2 x}{x + 5}$ y $4$ .

$\frac{2 x \cdot 4}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 5}]$

Paso 4.1.4

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.5

Diferencia.

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Paso 4.1.5.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{(x + 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.5.2

Multiplica $x + 5$ por $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.5.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.5.6

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.5.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.5.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5 - x}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.5.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{0 + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.5.6.4

Suma $0$ y $5$ .

$\frac{8 x}{x + 5} \cdot \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.5.6.5

Multiplica $\frac{8 x}{x + 5}$ por $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{8 x \cdot 5}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.5.6.6

Multiplica $5$ por $8$ .

$\frac{40 x}{(x + 5) {(x + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.6

Multiplica $x + 5$ por ${(x + 5)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.6.1

Multiplica $x + 5$ por ${(x + 5)}^{2}$ .

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Paso 4.1.6.1.1

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{2}}$

Paso 4.1.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{1 + 2}}$

Paso 4.1.6.2

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$40 x = 0$

Paso 5.3

Divide cada término en $40 x = 0$ por $40$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $40 x = 0$ por $40$ .

$\frac{40 x}{40} = \frac{0}{40}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $40$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{40 x}{40} = \frac{0}{40}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{40}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Divide $0$ por $40$ .

$x = 0$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{40 x}{{(x + 5)}^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 5)}^{3} = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x$

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Paso 6.2.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 6.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{40 (2 (0) - 5)}{{((0) + 5)}^{4}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$- \frac{40 (0 - 5)}{{(0 + 5)}^{4}}$

Paso 9.1.2

Resta $5$ de $0$ .

$- \frac{40 \cdot - 5}{{(0 + 5)}^{4}}$

Paso 9.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1

Suma $0$ y $5$ .

$- \frac{40 \cdot - 5}{5^{4}}$

Paso 9.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{40 \cdot - 5}{625}$

Paso 9.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 9.3.1

Multiplica $40$ por $- 5$ .

$- \frac{- 200}{625}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común de $- 200$ y $625$ .

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Paso 9.3.2.1

Factoriza $25$ de $- 200$ .

$- \frac{25 (- 8)}{625}$

Paso 9.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.2.2.1

Factoriza $25$ de $625$ .

$- \frac{25 \cdot - 8}{25 \cdot 25}$

Paso 9.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{25 \cdot - 8}{25 \cdot 25}$

Paso 9.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{- 8}{25}$

Paso 9.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{8}{25}$

Paso 9.4

Multiplica $- - \frac{8}{25}$ .

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Paso 9.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{8}{25})$

Paso 9.4.2

Multiplica $\frac{8}{25}$ por $1$ .

$\frac{8}{25}$

Paso 10

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 4 {(\frac{0}{(0) + 5})}^{2}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común de $0$ y $(0) + 5$ .

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Paso 11.2.1.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$f (0) = 4 {(\frac{5 (0)}{(0) + 5})}^{2}$

Paso 11.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.1.2.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$f (0) = 4 {(\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 0 + 5})}^{2}$

Paso 11.2.1.2.2

Factoriza $5$ de $5$ .

$f (0) = 4 {(\frac{5 (0)}{5 \cdot 0 + 5 \cdot 1})}^{2}$

Paso 11.2.1.2.3

Factoriza $5$ de $5 \cdot 0 + 5 \cdot 1$ .

$f (0) = 4 {(\frac{5 (0)}{5 \cdot (0 + 1)})}^{2}$

Paso 11.2.1.2.4

Cancela el factor común.

$f (0) = 4 {(\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot (0 + 1)})}^{2}$

Paso 11.2.1.2.5

Reescribe la expresión.

$f (0) = 4 {(\frac{0}{0 + 1})}^{2}$

Paso 11.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 11.2.2.1

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = 4 {(\frac{0}{1})}^{2}$

Paso 11.2.2.2

Divide $0$ por $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 0^{2}$

Paso 11.2.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0$

Paso 11.2.2.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = 4 {(\frac{x}{x + 5})}^{2}$ .

$(0, 0)$ es un mínimo local

Paso 13