Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x - \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$3 - \frac{1}{x}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$- \frac{1}{x} + 3$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{x} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.2.6

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.2.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.2.8

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = x^{- 2} + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $\frac{1}{x^{2}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- \frac{1}{x} + 3 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 4.1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$3 - \frac{1}{x}$

Paso 4.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 3$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{x} + 3$ .

$- \frac{1}{x} + 3$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{x} + 3 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{x} + 3 = 0$

Paso 5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{x} = - 3$

Paso 5.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1$

Paso 5.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 5.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x} = - 3$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x} = - 3$ por $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - 3 x$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Paso 5.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x} x = - 3 x$

Paso 5.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - 3 x$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $- 3 x = - 1$ .

$- 3 x = - 1$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $- 3 x = - 1$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $- 3 x = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{3}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{1}{3}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{1}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Paso 9.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{\frac{1}{3^{2}}}$

Paso 9.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{9}}$

Paso 9.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \cdot 9$

Paso 9.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$9$

Paso 10

$x = \frac{1}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{1}{3}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{1}{3}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) - \ln (\frac{1}{3})$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.2.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3}) - \ln (\frac{1}{3})$

Paso 11.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = 1 - \ln (\frac{1}{3})$

Paso 11.2.2

La respuesta final es $1 - \ln (\frac{1}{3})$ .

$y = 1 - \ln (\frac{1}{3})$

Paso 12

Estos son los extremos locales de $f (x) = 3 x - \ln (x)$ .

$(\frac{1}{3}, 1 - \ln (\frac{1}{3}))$ es un mínimo local

Paso 13