Cálculo Ejemplos

$f (x) = 32 x^{0.25}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 x^{0.25}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 0.25$ .

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

Paso 1.3

Multiplica $0.25$ por $32$ .

$8 x^{- 0.75}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

Paso 1.4.2

Combina $8$ y $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$\frac{8}{x^{0.75}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{8}{x^{0.75}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{0.75}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{0.75}})$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{0.75}}$ como ${(x^{0.75})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{0.75})}^{- 1})$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{0.75})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{0.75 \cdot - 1})$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $0.75$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{- 0.75})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 0.75$ .

$f'' (x) = 8 (- 0.75 x^{- 1.75})$

Paso 2.4

Multiplica $- 0.75$ por $8$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 1.75}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{1.75}}$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Combina $- 6$ y $\frac{1}{x^{1.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{1.75}}$

Paso 2.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{1.75}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 x^{0.25}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 0.25$ .

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

Paso 4.1.3

Multiplica $0.25$ por $32$ .

$8 x^{- 0.75}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

Paso 4.1.4.2

Combina $8$ y $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f' (x) = \frac{8}{x^{0.75}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{8}{x^{0.75}}$ .

$\frac{8}{x^{0.75}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{8}{x^{0.75}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$8 = 0$

Paso 5.3

Como $8 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Cambia $0.75$ en una fracción.

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Paso 6.1.1.1

Multiplica por $\frac{100}{100}$ para eliminar el decimal.

$\frac{8}{x^{\frac{100 \cdot 0.75}{100}}}$

Paso 6.1.1.2

Multiplica $100$ por $0.75$ .

$\frac{8}{x^{\frac{75}{100}}}$

Paso 6.1.1.3

Cancela el factor común de $75$ y $100$ .

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Paso 6.1.1.3.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$\frac{8}{x^{\frac{25 (3)}{100}}}$

Paso 6.1.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Factoriza $25$ de $100$ .

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

Paso 6.1.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

Paso 6.1.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8}{x^{\frac{3}{4}}}$

Paso 6.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{3} = 0^{4}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{3} = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 6.3.3.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.3.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.3.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6.4

Establece el radicando en $\sqrt[4]{x^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} < 0$

Paso 6.5

Resuelve $x$

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Paso 6.5.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.5.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 6.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.5.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.5.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x < 0$

Paso 6.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{6}{{(0)}^{1.75}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{6}{0}$

Paso 9.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 11