Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 3 + \log_{\frac{1}{3}} (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 + \log_{\frac{1}{3}} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\log_{\frac{1}{3}} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\log_{\frac{1}{3}} (x)]$

Paso 1.1.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\log_{\frac{1}{3}} (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\log_{\frac{1}{3}} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$ .

$0 + \frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$

Paso 1.3

Suma $0$ y $\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$ .

$\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{\ln (\frac{1}{3})}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \cdot (- x^{- 2})$

Paso 2.4

Combina fracciones.

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Paso 2.4.1

Combina $\frac{1}{\ln (\frac{1}{3})}$ y $x^{- 2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2}}{\ln (\frac{1}{3})}$

Paso 2.4.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.2.1

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{\ln (\frac{1}{3}) x^{2}}$

Paso 2.4.2.2

Reordena los factores en $- \frac{1}{\ln (\frac{1}{3}) x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2} \ln (\frac{1}{3})}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})} = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6