Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Paso 1.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Paso 1.3.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Paso 1.4.2

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $3 \sin (x)$ de $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Paso 1.4.2.3

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Paso 1.4.3

Reordena $\cos^{2} (x)$ y $- 1$ .

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Paso 1.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Paso 1.4.5

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Paso 1.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Paso 1.4.7

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Paso 1.4.8

Aplica la identidad pitagórica.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Paso 1.4.9

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.9.1

Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Paso 1.4.9.2

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Paso 1.4.9.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

Paso 1.4.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Paso 1.4.9.3

Suma $2$ y $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Paso 1.4.10

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \sin^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin^{3} (x)$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Paso 2.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 9 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Paso 2.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Paso 4

Divide cada término en $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Paso 4.2.1.2

Divide $\sin^{3} (x)$ por $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Paso 5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Paso 6

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 6.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\sin (x) = 0$

Paso 7

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 8

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 9

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 10

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 11

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, π$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 9 \sin^{2} (0) \cos (0)$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 9 \cdot 0^{2} \cos (0)$

Paso 13.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 9 \cdot 0 \cos (0)$

Paso 13.3

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$0 \cos (0)$

Paso 13.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 \cdot 1$

Paso 13.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$0$

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $- 3 \sin^{3} (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - 3 \sin^{3} (- 2)$

Paso 14.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.2.2.1

Evalúa $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 3 {(- 0.90929742)}^{3}$

Paso 14.2.2.2

Eleva $- 0.90929742$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot - 0.75182694$

Paso 14.2.2.3

Multiplica $- 3$ por $- 0.75182694$ .

$f' (- 2) = 2.25548083$

Paso 14.2.2.4

La respuesta final es $2.25548083$ .

$2.25548083$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, π)$ en la primera derivada $- 3 \sin^{3} (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - 3 \sin^{3} (2)$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.3.2.1

Evalúa $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 3 \cdot {0.90929742}^{3}$

Paso 14.3.2.2

Eleva $0.90929742$ a la potencia de $3$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 0.75182694$

Paso 14.3.2.3

Multiplica $- 3$ por $0.75182694$ .

$f' (2) = - 2.25548083$

Paso 14.3.2.4

La respuesta final es $- 2.25548083$ .

$- 2.25548083$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $6$ , del intervalo $(π, \infty)$ en la primera derivada $- 3 \sin^{3} (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = - 3 \sin^{3} (6)$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.4.2.1

Evalúa $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 3 {(- 0.27941549)}^{3}$

Paso 14.4.2.2

Eleva $- 0.27941549$ a la potencia de $3$ .

$f' (6) = - 3 \cdot - 0.02181481$

Paso 14.4.2.3

Multiplica $- 3$ por $- 0.02181481$ .

$f' (6) = 0.06544443$

Paso 14.4.2.4

La respuesta final es $0.06544443$ .

$0.06544443$

Paso 14.5

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 14.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = π$ , $x = π$ es un mínimo local.

$x = π$ es un mínimo local

Paso 14.7

Estos son los extremos locales de $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ .

$x = 0$ es un máximo local

$x = π$ es un mínimo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = π$ es un mínimo local

Paso 15