Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 + {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = 8 + 3 x$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 + 3 x$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [8 + 3 x]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$0 + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 + 3 x]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 + 3 x$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 + 3 x]$

Paso 1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 1.2.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [3 x])$

Paso 1.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + 3 \cdot 1)$

Paso 1.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 3 \cdot 1)$

Paso 1.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 3 \cdot 1)$

Paso 1.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 3 \cdot 1)$

Paso 1.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 + 3 \cdot 1)$

Paso 1.2.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 + 3 \cdot 1)$

Paso 1.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 + 3 \cdot 1)$

Paso 1.2.11

Multiplica $3$ por $1$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 + 3)$

Paso 1.2.12

Suma $0$ y $3$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 3$

Paso 1.2.13

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 + \frac{2 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 3$

Paso 1.2.14

Combina $\frac{2 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $3$ .

$0 + \frac{2 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

Paso 1.2.15

Multiplica $3$ por $2$ .

$0 + \frac{6 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.2.16

Mueve ${(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{6}{3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.2.17

Factoriza $3$ de $6$ .

$0 + \frac{3 \cdot 2}{3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.2.18

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.18.1

Factoriza $3$ de $3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$0 + \frac{3 \cdot 2}{3 ({(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}})}$

Paso 1.2.18.2

Cancela el factor común.

$0 + \frac{3 \cdot 2}{3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.2.18.3

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{2}{{(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Suma $0$ y $\frac{2}{{(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{{(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.3.2

Reordena los términos.

$\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}})$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

Paso 2.1.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(3 x + 8)}^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 2.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(3 x + 8)}^{- \frac{1}{3}})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ y $g (x) = 3 x + 8$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x + 8$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x + 8$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Paso 2.6.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Paso 2.7.2

Combina ${(3 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{{(3 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Paso 2.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.3.1

Mueve ${(3 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Paso 2.7.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{1}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Paso 2.7.4

Combina $\frac{1}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 8)$

Paso 2.7.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 8)$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (8))$

Paso 2.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8))$

Paso 2.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8))$

Paso 2.11

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (3 + \frac{d}{d x} (8))$

Paso 2.12

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (3 + 0)$

Paso 2.13

Simplifica los términos.

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Paso 2.13.1

Suma $3$ y $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 3$

Paso 2.13.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.13.3

Combina $- 3$ y $\frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 \cdot 2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.13.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.13.5

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot - 2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.14.1

Factoriza $3$ de $3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot - 2}{3 ({(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}})}$

Paso 2.14.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{3 \cdot - 2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.14.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = 8 + 3 x$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $8 + 3 x$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (8 + 3 x)$

Paso 4.1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 + 3 x)$

Paso 4.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 + 3 x$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 + 3 x)$

Paso 4.1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 + 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (3 x)))$

Paso 4.1.2.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (3 x)))$

Paso 4.1.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + 3 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 4.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + 3 \cdot 1))$

Paso 4.1.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 3 \cdot 1))$

Paso 4.1.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 3 \cdot 1))$

Paso 4.1.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 3 \cdot 1))$

Paso 4.1.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 + 3 \cdot 1))$

Paso 4.1.2.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 + 3 \cdot 1))$

Paso 4.1.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 + 3 \cdot 1))$

Paso 4.1.2.11

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 + 3))$

Paso 4.1.2.12

Suma $0$ y $3$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 3$

Paso 4.1.2.13

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 3$

Paso 4.1.2.14

Combina $\frac{2 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $3$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.15

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = 0 + \frac{6 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 4.1.2.16

Mueve ${(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{6}{3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.1.2.17

Factoriza $3$ de $6$ .

$f' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.1.2.18

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.18.1

Factoriza $3$ de $3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 ({(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}})}$

Paso 4.1.2.18.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.1.2.18.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 0 + \frac{2}{{(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.1.3

Simplifica.

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Paso 4.1.3.1

Suma $0$ y $\frac{2}{{(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.1.3.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 5.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 5.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 6.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{\sqrt[3]{{(3 x + 8)}^{1}}}$

Paso 6.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{2}{\sqrt[3]{3 x + 8}}$

Paso 6.2

Establece el denominador en $\frac{2}{\sqrt[3]{3 x + 8}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{3 x + 8} = 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{3 x + 8}}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3 x + 8}$ como ${(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.2.1

Simplifica ${({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 x + 8)}^{1} = 0^{3}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Simplifica.

$3 x + 8 = 0^{3}$

Paso 6.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 x + 8 = 0$

Paso 6.3.3

Resuelve $x$

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Paso 6.3.3.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 8$

Paso 6.3.3.2

Divide cada término en $3 x = - 8$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.3.3.2.1

Divide cada término en $3 x = - 8$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Paso 6.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Paso 6.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Paso 6.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8}{3}$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - \frac{8}{3}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{8}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- \frac{2}{{(3 (- \frac{8}{3}) + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{8}{3}$ al numerador.

$- \frac{2}{{(3 (\frac{- 8}{3}) + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{{(3 (\frac{- 8}{3}) + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.1.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{{(- 8 + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2

Simplifica la expresión.

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Paso 9.2.1

Suma $- 8$ y $8$ .

$- \frac{2}{0^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.2

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2}{{(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Paso 9.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2}{0^{4}}$

Paso 9.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Paso 9.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{8}{3}) \cup (- \frac{8}{3}, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 5$ , del intervalo $(- \infty, - \frac{8}{3})$ en la primera derivada $\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f' (- 5) = \frac{2}{{(3 (- 5) + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{2}{{(- 15 + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.2.1.2

Suma $- 15$ y $8$ .

$f' (- 5) = \frac{2}{{(- 7)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.2.2

La respuesta final es $\frac{2}{{(- 7)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{{(- 7)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \frac{8}{3}, \infty)$ en la primera derivada $\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \frac{2}{{(3 (0) + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 10.3.2.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{2}{{(0 + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.3.2.1.2

Suma $0$ y $8$ .

$f' (0) = \frac{2}{8^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.3.2.1.3

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$f' (0) = \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.3.2.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{2}{2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 10.3.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.3.2.1.5.1

Cancela el factor común.

$f' (0) = \frac{2}{2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 10.3.2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (0) = \frac{2}{2}$

Paso 10.3.2.1.6

Evalúa el exponente.

$f' (0) = \frac{2}{2}$

Paso 10.3.2.2

Divide $2$ por $2$ .

$f' (0) = 1$

Paso 10.3.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 10.4

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = - \frac{8}{3}$ , $x = - \frac{8}{3}$ es un mínimo local.

$x = - \frac{8}{3}$ es un mínimo local

Paso 11