Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.6.2

Resta $2$ de $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.7

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.8

Combina $2$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.9

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.10

Factoriza $2$ de $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.11

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.11.4

Divide $5 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Paso 2.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.3.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Paso 2.3.6.2

Resta $2$ de $3$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2.3.7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Paso 2.3.8

Combina $5$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 2.3.9

Multiplica $3$ por $5$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.6.2

Resta $2$ de $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.7

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.8

Combina $2$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.10

Factoriza $2$ de $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.11

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.11.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.2.11.4

Divide $5 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Paso 4.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Paso 5.2

Factoriza $- x$ de $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $- x$ de $- 2 x$ .

$- x \cdot 2 + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza $- x$ de $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- x \cdot 2 - x (- 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $- x$ de $- x (2) - x (- 5 x^{\frac{1}{2}})$ .

$- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 5.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5.5

Establece $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1

Establece $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ igual a $0$ .

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 5 x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Paso 5.5.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.3.1.1

Simplifica ${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.5.2.3.1.1.2

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.5.2.3.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.3.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.5.2.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.5.2.3.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$25 x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.5.2.3.1.1.4

Simplifica.

$25 x = {(- 2)}^{2}$

Paso 5.5.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$25 x = 4$

Paso 5.5.2.4

Divide cada término en $25 x = 4$ por $25$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.4.1

Divide cada término en $25 x = 4$ por $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Paso 5.5.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.4.2.1

Cancela el factor común de $25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Paso 5.5.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{25}$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$- 2 x + 5 \sqrt{x^{3}}$

Paso 6.2

Establece el radicando en $\sqrt{x^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} < 0$

Paso 6.3

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.3.2

Simplifica la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 6.3.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x < 0$

Paso 6.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 + \frac{15 {(0)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 9.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Paso 9.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Paso 9.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{1}}{2}$

Paso 9.1.1.4

Evalúa el exponente.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0}{2}$

Paso 9.1.2

Multiplica $15$ por $0$ .

$- 2 + \frac{0}{2}$

Paso 9.1.3

Divide $0$ por $2$ .

$- 2 + 0$

Paso 9.2

Suma $- 2$ y $0$ .

$- 2$

Paso 10

$x = 0$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = 0$ es un máximo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 2 {(0)}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$f (0) = 2 {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Paso 11.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Paso 11.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Paso 11.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (0) = 2 \cdot 0^{5} - {(0)}^{2}$

Paso 11.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{2}$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

Paso 11.2.1.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Paso 11.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 11.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{4}{25}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 + \frac{15 {(\frac{4}{25})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{25}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 13.1.1.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 13.1.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 13.1.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 13.1.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{1}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 13.1.1.2.4

Evalúa el exponente.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 13.1.1.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Paso 13.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Paso 13.1.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Paso 13.1.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{1}}}{2}$

Paso 13.1.1.3.4

Evalúa el exponente.

$- 2 + \frac{15 (\frac{2}{5})}{2}$

Paso 13.1.2

Combina $15$ y $\frac{2}{5}$ .

$- 2 + \frac{\frac{15 \cdot 2}{5}}{2}$

Paso 13.1.3

Multiplica $15$ por $2$ .

$- 2 + \frac{\frac{30}{5}}{2}$

Paso 13.1.4

Divide $30$ por $5$ .

$- 2 + \frac{6}{2}$

Paso 13.1.5

Divide $6$ por $2$ .

$- 2 + 3$

Paso 13.2

Suma $- 2$ y $3$ .

$1$

Paso 14

$x = \frac{4}{25}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{4}{25}$ es un mínimo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{4}{25}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{4}{25}$ en la expresión.

$f (\frac{4}{25}) = 2 {(\frac{4}{25})}^{\frac{5}{2}} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{4^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2.1.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{5}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2.1.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2.1.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{{(5^{2})}^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{5}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2.1.3.4

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{3125}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2.1.4

Multiplica $2 (\frac{32}{3125})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.4.1

Combina $2$ y $\frac{32}{3125}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{2 \cdot 32}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2.1.4.2

Multiplica $2$ por $32$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Paso 15.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{4^{2}}{25^{2}}$

Paso 15.2.1.6

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{25^{2}}$

Paso 15.2.1.7

Eleva $25$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625}$

Paso 15.2.2

Para escribir $- \frac{16}{625}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 15.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3125$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.3.1

Multiplica $\frac{16}{625}$ por $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{625 \cdot 5}$

Paso 15.2.3.2

Multiplica $625$ por $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{3125}$

Paso 15.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 16 \cdot 5}{3125}$

Paso 15.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.5.1

Multiplica $- 16$ por $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 80}{3125}$

Paso 15.2.5.2

Resta $80$ de $64$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{- 16}{3125}$

Paso 15.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{4}{25}) = - \frac{16}{3125}$

Paso 15.2.7

La respuesta final es $- \frac{16}{3125}$ .

$y = - \frac{16}{3125}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ es un máximo local

$(\frac{4}{25}, - \frac{16}{3125})$ es un mínimo local

Paso 17