Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)]$ .

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Paso 1.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cdot (x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 1.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{1} x^{2}) \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [6 x^{1 + 2} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 1.2.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 1.2.5

Como $6 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{3} y$ con respecto a $x$ es $6 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 1.2.7

Multiplica $3$ por $6$ .

$18 y x^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 1.3

Como $4 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$18 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 1.5

Como $10 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + 0$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Combina los términos.

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Paso 1.6.1.1

Suma $18 y x^{2}$ y $0$ .

$18 y x^{2} - 2 + 0$

Paso 1.6.1.2

Suma $18 y x^{2} - 2$ y $0$ .

$18 y x^{2} - 2$

Paso 1.6.2

Reordena los términos.

$18 x^{2} y - 2$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $18 x^{2} y - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [18 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (18 x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [18 x^{2} y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $18 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $18 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 18 y \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 y (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $18$ .

$f'' (x) = 36 y x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 36 y x + 0$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Suma $36 y x$ y $0$ .

$f'' (x) = 36 y x$

Paso 2.4.2

Reordena los factores de $36 y x$ .

$f'' (x) = 36 x y$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$18 x^{2} y - 2 = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)]$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cdot (x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 4.1.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{1} x^{2}) \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 4.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [6 x^{1 + 2} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 4.1.2.4

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 4.1.2.5

Como $6 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{3} y$ con respecto a $x$ es $6 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 4.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $3$ por $6$ .

$18 y x^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 4.1.3

Como $4 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$18 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 4.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 4.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Paso 4.1.5

Como $10 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + 0$

Paso 4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.1.6.1

Combina los términos.

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Paso 4.1.6.1.1

Suma $18 y x^{2}$ y $0$ .

$18 y x^{2} - 2 + 0$

Paso 4.1.6.1.2

Suma $18 y x^{2} - 2$ y $0$ .

$18 y x^{2} - 2$

Paso 4.1.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = 18 x^{2} y - 2$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $18 x^{2} y - 2$ .

$18 x^{2} y - 2$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $18 x^{2} y - 2 = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$18 x^{2} y - 2 = 0$

Paso 5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$18 x^{2} y = 2$

Paso 5.3

Divide cada término en $18 x^{2} y = 2$ por $18 y$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $18 x^{2} y = 2$ por $18 y$ .

$\frac{18 x^{2} y}{18 y} = \frac{2}{18 y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $18$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{18 x^{2} y}{18 y} = \frac{2}{18 y}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} y}{y} = \frac{2}{18 y}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{y} = \frac{2}{18 y}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{18 y}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ y $18$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{18 y}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $18 y$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{2 (9 y)}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 (9 y)}$

Paso 5.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{1}{9 y}$

Paso 5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9 y}}$

Paso 5.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{9 y}}$ .

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Paso 5.5.1

Reescribe $\frac{1}{9 y}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{1}{y}$ .

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Paso 5.5.1.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{9 y}}$

Paso 5.5.1.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9 y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{3^{2} y}}$

Paso 5.5.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} \cdot 1}{3^{2} y}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{1}{y}}$

Paso 5.5.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{1}{y}}$

Paso 5.5.3

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{y}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$

Paso 5.5.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}}$

Paso 5.5.5

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}})$

Paso 5.5.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.6.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Paso 5.5.6.2

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Paso 5.5.6.3

Eleva $\sqrt{y}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Paso 5.5.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Paso 5.5.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Paso 5.5.6.6

Reescribe ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

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Paso 5.5.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.5.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.5.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{1}}$

Paso 5.5.6.6.5

Simplifica.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y}$

Paso 5.5.7

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Paso 5.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Paso 5.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Paso 5.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$36 (\frac{\sqrt{y}}{3 y}) y$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza $3$ de $36$ .

$3 (12) \frac{\sqrt{y}}{3 y} y$

Paso 9.1.2

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$3 (12) \frac{\sqrt{y}}{3 (y)} y$

Paso 9.1.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot 12 \frac{\sqrt{y}}{3 y} y$

Paso 9.1.4

Reescribe la expresión.

$12 \frac{\sqrt{y}}{y} y$

Paso 9.2

Combina $12$ y $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{12 \sqrt{y}}{y} y$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 \sqrt{y}}{y} y$

Paso 9.3.2

Reescribe la expresión.

$12 \sqrt{y}$

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $0$ , del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la primera derivada $18 x^{2} y - 2$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 18 {(0)}^{2} y - 2$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 18 \cdot (0 y) - 2$

Paso 10.2.2.1.2

Multiplica $18$ por $0$ .

$f' (0) = 0 y - 2$

Paso 10.2.2.1.3

Multiplica $0$ por $y$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Paso 10.2.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$f' (0) = - 2$

Paso 10.2.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 10.3

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = 2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 11