Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Paso 1.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

Paso 1.4.2.2

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

Paso 1.4.2.3

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Paso 2.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Paso 2.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Paso 2.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Paso 4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Paso 5

Factoriza $2 \sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2 \sin (x)$ de $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Paso 5.2

Factoriza $2 \sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 7

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 7.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 7.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 7.2.5

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, π$

Paso 8

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $\cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = 1$

Paso 8.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 8.2.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 8.2.5

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 8.2.6

La solución a la ecuación $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, π, 2 π$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$2 \cos (2 (0)) - 2 \cos (0)$

Paso 11

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \cos (0) - 2 \cos (0)$

Paso 11.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 \cdot 1 - 2 \cos (0)$

Paso 11.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - 2 \cos (0)$

Paso 11.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 - 2 \cdot 1$

Paso 11.1.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 - 2$

Paso 11.2

Resta $2$ de $2$ .

$0$

Paso 12

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 12.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Paso 12.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 12.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Paso 12.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4) - 2 \sin (- 2)$

Paso 12.2.2.1.2

Evalúa $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Paso 12.2.2.1.3

Evalúa $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Paso 12.2.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 + 1.81859485$

Paso 12.2.2.2

Suma $0.75680249$ y $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 2.57539734$

Paso 12.2.2.3

La respuesta final es $2.57539734$ .

$2.57539734$

Paso 12.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, π)$ en la primera derivada $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 12.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \sin (2 (2)) - 2 \sin (2)$

Paso 12.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.3.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (2) = \sin (4) - 2 \sin (2)$

Paso 12.3.2.1.2

Evalúa $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Paso 12.3.2.1.3

Evalúa $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Paso 12.3.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 1.81859485$

Paso 12.3.2.2

Resta $1.81859485$ de $- 0.75680249$ .

$f' (2) = - 2.57539734$

Paso 12.3.2.3

La respuesta final es $- 2.57539734$ .

$- 2.57539734$

Paso 12.4

Sustituye cualquier número, como $5$ , del intervalo $(π, 2 π)$ en la primera derivada $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 12.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = \sin (2 (5)) - 2 \sin (5)$

Paso 12.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.4.2.1.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$f' (5) = \sin (10) - 2 \sin (5)$

Paso 12.4.2.1.2

Evalúa $\sin (10)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \sin (5)$

Paso 12.4.2.1.3

Evalúa $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \cdot - 0.95892427$

Paso 12.4.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 0.54402111 + 1.91784854$

Paso 12.4.2.2

Suma $- 0.54402111$ y $1.91784854$ .

$f' (5) = 1.37382743$

Paso 12.4.2.3

La respuesta final es $1.37382743$ .

$1.37382743$

Paso 12.5

Sustituye cualquier número, como $9$ , del intervalo $(2 π, \infty)$ en la primera derivada $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 12.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f' (9) = \sin (2 (9)) - 2 \sin (9)$

Paso 12.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.5.2.1.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$f' (9) = \sin (18) - 2 \sin (9)$

Paso 12.5.2.1.2

Evalúa $\sin (18)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \sin (9)$

Paso 12.5.2.1.3

Evalúa $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \cdot 0.41211848$

Paso 12.5.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $0.41211848$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 0.82423697$

Paso 12.5.2.2

Resta $0.82423697$ de $- 0.75098724$ .

$f' (9) = - 1.57522421$

Paso 12.5.2.3

La respuesta final es $- 1.57522421$ .

$- 1.57522421$

Paso 12.6

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0$ , $x = 0$ es un máximo local.

$x = 0$ es un máximo local

Paso 12.7

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = π$ , $x = π$ es un mínimo local.

$x = π$ es un mínimo local

Paso 12.8

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 2 π$ , $x = 2 π$ es un máximo local.

$x = 2 π$ es un máximo local

Paso 12.9

Estos son los extremos locales de $f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ es un máximo local

$x = π$ es un mínimo local

$x = 2 π$ es un máximo local

$x = 0$ es un máximo local

$x = π$ es un mínimo local

$x = 2 π$ es un máximo local

Paso 13