Cálculo Ejemplos

$f (x) = 25 - 9 x^{- 2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $25 - 9 x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{- 2}]$

Paso 1.1.2

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{- 2}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 9 x^{- 2}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9 x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- 9 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$0 - 9 (- 2 x^{- 3})$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 9$ .

$0 + 18 x^{- 3}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Suma $0$ y $18 x^{- 3}$ .

$18 x^{- 3}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.3.3

Combina $18$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{18}{x^{3}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{18}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Paso 2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x^{3 \cdot - 1})$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x^{- 3})$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$f'' (x) = 18 (- 3 x^{- 4})$

Paso 2.4

Multiplica $- 3$ por $18$ .

$f'' (x) = - 54 x^{- 4}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 54 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 2.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.5.2.1

Combina $- 54$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 54}{x^{4}}$

Paso 2.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{54}{x^{4}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{18}{x^{3}} = 0$

Paso 4

Como no hay ningún valor de $x$ que haga que la primera derivada sea igual a $0$ , no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 5

No hay extremos locales

Paso 6