Cálculo Ejemplos

$f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{3}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

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Paso 1.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

Paso 1.3.2

Suma $3$ y $4$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

Paso 1.3.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ .

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = 24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $24 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 1.3.6

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 1.3.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Paso 1.3.10

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Paso 1.3.11

Resta $3$ de $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Paso 1.3.12

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{7}$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Paso 1.3.13

Mueve $7$ a la izquierda de $24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

Paso 1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

Paso 1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Paso 1.4.4

Combina los términos.

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Paso 1.4.4.1

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Paso 1.4.4.2

Multiplica $7$ por $24$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Paso 1.4.4.3

Multiplica $168$ por $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Paso 1.4.4.4

Multiplica $- 3$ por $7$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

Paso 1.4.4.5

Multiplica $x$ por $x^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.4.5.1

Mueve $x^{6}$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

Paso 1.4.4.5.2

Multiplica $x^{6}$ por $x$ .

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Paso 1.4.4.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

Paso 1.4.4.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

Paso 1.4.4.5.3

Suma $6$ y $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

Paso 1.4.4.6

Multiplica $- 21$ por $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

Paso 1.4.4.7

Suma $9 x^{7}$ y $63 x^{7}$ .

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

Paso 1.4.5

Reordena los términos.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [72 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 504 x^{6}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (72 x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [72 x^{7}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $72 x^{7}$ con respecto a $x$ es $72 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$f'' (x) = 72 \frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$f'' (x) = 72 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Paso 2.2.3

Multiplica $7$ por $72$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 504 x^{6}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 504$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 504 x^{6}$ con respecto a $x$ es $- 504 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Paso 2.3.3

Multiplica $6$ por $- 504$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $72$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $72 x^{2}$ con respecto a $x$ es $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 (2 x)$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $72$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 144 x$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{3}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $3$ por $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

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Paso 4.1.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

Paso 4.1.3.2

Suma $3$ y $4$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

Paso 4.1.3.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ .

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

Paso 4.1.3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = 24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 4.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $24 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 4.1.3.6

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24$ con respecto a $x$ es $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 4.1.3.7

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 4.1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Paso 4.1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Paso 4.1.3.10

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Paso 4.1.3.11

Resta $3$ de $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Paso 4.1.3.12

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x^{7}$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Paso 4.1.3.13

Mueve $7$ a la izquierda de $24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

Paso 4.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

Paso 4.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Paso 4.1.4.4

Combina los términos.

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Paso 4.1.4.4.1

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Paso 4.1.4.4.2

Multiplica $7$ por $24$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Paso 4.1.4.4.3

Multiplica $168$ por $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Paso 4.1.4.4.4

Multiplica $- 3$ por $7$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

Paso 4.1.4.4.5

Multiplica $x$ por $x^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.4.4.5.1

Mueve $x^{6}$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

Paso 4.1.4.4.5.2

Multiplica $x^{6}$ por $x$ .

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Paso 4.1.4.4.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

Paso 4.1.4.4.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

Paso 4.1.4.4.5.3

Suma $6$ y $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

Paso 4.1.4.4.6

Multiplica $- 21$ por $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

Paso 4.1.4.4.7

Suma $9 x^{7}$ y $63 x^{7}$ .

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

Paso 4.1.4.5

Reordena los términos.

$f' (x) = 72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ .

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

Paso 5.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = - 0.60223321$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$504 {(- 0.60223321)}^{6} - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Eleva $- 0.60223321$ a la potencia de $6$ .

$504 \cdot 0.04770767 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Paso 9.1.2

Multiplica $504$ por $0.04770767$ .

$24.04466629 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Paso 9.1.3

Eleva $- 0.60223321$ a la potencia de $5$ .

$24.04466629 - 3024 \cdot - 0.07921793 + 144 (- 0.60223321)$

Paso 9.1.4

Multiplica $- 3024$ por $- 0.07921793$ .

$24.04466629 + 239.55503398 + 144 (- 0.60223321)$

Paso 9.1.5

Multiplica $144$ por $- 0.60223321$ .

$24.04466629 + 239.55503398 - 86.72158264$

Paso 9.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 9.2.1

Suma $24.04466629$ y $239.55503398$ .

$263.59970027 - 86.72158264$

Paso 9.2.2

Resta $86.72158264$ de $263.59970027$ .

$176.87811762$

Paso 10

$x = - 0.60223321$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = - 0.60223321$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = - 0.60223321$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.60223321$ en la expresión.

$f (- 0.60223321) = 24 {(- 0.60223321)}^{3} - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Eleva $- 0.60223321$ a la potencia de $3$ .

$f (- 0.60223321) = 24 \cdot - 0.21842085 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Paso 11.2.1.2

Multiplica $24$ por $- 0.21842085$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Paso 11.2.1.3

Multiplica ${(- 0.60223321)}^{4}$ por ${(- 0.60223321)}^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.3.1

Mueve ${(- 0.60223321)}^{3}$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 ({(- 0.60223321)}^{3} {(- 0.60223321)}^{4}) \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Paso 11.2.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{3 + 4} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Paso 11.2.1.3.3

Suma $3$ y $4$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{7} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Paso 11.2.1.4

Eleva $- 0.60223321$ a la potencia de $7$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 \cdot - 0.02873114 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Paso 11.2.1.5

Multiplica $- 3$ por $- 0.02873114$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Paso 11.2.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 0.60223321$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 + 1.80669963)$

Paso 11.2.1.7

Suma $24$ y $1.80669963$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot 25.80669963$

Paso 11.2.1.8

Multiplica $0.08619343$ por $25.80669963$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 2.22436801$

Paso 11.2.2

Suma $- 5.24210059$ y $2.22436801$ .

$f (- 0.60223321) = - 3.01773257$

Paso 11.2.3

La respuesta final es $- 3.01773257$ .

$y = - 3.01773257$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$504 {(0)}^{6} - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$504 \cdot 0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Paso 13.1.2

Multiplica $504$ por $0$ .

$0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Paso 13.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 3024 \cdot 0 + 144 (0)$

Paso 13.1.4

Multiplica $- 3024$ por $0$ .

$0 + 0 + 144 (0)$

Paso 13.1.5

Multiplica $144$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Paso 13.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 13.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0$

Paso 13.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 0.60223321) \cup (- 0.60223321, 0) \cup (0, 0.62944187) \cup (0.62944187, 6.9995834) \cup (6.9995834, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 3$ , del intervalo $(- \infty, - 0.60223321)$ en la primera derivada $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = 72 {(- 3)}^{7} - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Paso 14.2.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $7$ .

$f' (- 3) = 72 \cdot - 2187 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Paso 14.2.2.1.2

Multiplica $72$ por $- 2187$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Paso 14.2.2.1.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $6$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 504 \cdot 729 + 72 {(- 3)}^{2}$

Paso 14.2.2.1.4

Multiplica $- 504$ por $729$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 {(- 3)}^{2}$

Paso 14.2.2.1.5

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 \cdot 9$

Paso 14.2.2.1.6

Multiplica $72$ por $9$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 648$

Paso 14.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 14.2.2.2.1

Resta $367416$ de $- 157464$ .

$f' (- 3) = - 524880 + 648$

Paso 14.2.2.2.2

Suma $- 524880$ y $648$ .

$f' (- 3) = - 524232$

Paso 14.2.2.3

La respuesta final es $- 524232$ .

$- 524232$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $- 0.3$ , del intervalo $(- 0.60223321, 0)$ en la primera derivada $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.3$ en la expresión.

$f' (- 0.3) = 72 {(- 0.3)}^{7} - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.1.1

Eleva $- 0.3$ a la potencia de $7$ .

$f' (- 0.3) = 72 \cdot - 0.0002187 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Paso 14.3.2.1.2

Multiplica $72$ por $- 0.0002187$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Paso 14.3.2.1.3

Eleva $- 0.3$ a la potencia de $6$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 \cdot 0.000729 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Paso 14.3.2.1.4

Multiplica $- 504$ por $0.000729$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Paso 14.3.2.1.5

Eleva $- 0.3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 \cdot 0.09$

Paso 14.3.2.1.6

Multiplica $72$ por $0.09$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 6.48$

Paso 14.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.3.2.2.1

Resta $0.367416$ de $- 0.0157464$ .

$f' (- 0.3) = - 0.3831624 + 6.48$

Paso 14.3.2.2.2

Suma $- 0.3831624$ y $6.48$ .

$f' (- 0.3) = 6.0968376$

Paso 14.3.2.3

La respuesta final es $6.0968376$ .

$6.0968376$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $0.31$ , del intervalo $(0, 0.62944187)$ en la primera derivada $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.31$ en la expresión.

$f' (0.31) = 72 {(0.31)}^{7} - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.2.1.1

Eleva $0.31$ a la potencia de $7$ .

$f' (0.31) = 72 \cdot 0.00027512 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Paso 14.4.2.1.2

Multiplica $72$ por $0.00027512$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Paso 14.4.2.1.3

Eleva $0.31$ a la potencia de $6$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 \cdot 0.0008875 + 72 {(0.31)}^{2}$

Paso 14.4.2.1.4

Multiplica $- 504$ por $0.0008875$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 {(0.31)}^{2}$

Paso 14.4.2.1.5

Eleva $0.31$ a la potencia de $2$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 \cdot 0.0961$

Paso 14.4.2.1.6

Multiplica $72$ por $0.0961$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 6.9192$

Paso 14.4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.4.2.2.1

Resta $0.44730185$ de $0.01980908$ .

$f' (0.31) = - 0.42749277 + 6.9192$

Paso 14.4.2.2.2

Suma $- 0.42749277$ y $6.9192$ .

$f' (0.31) = 6.49170722$

Paso 14.4.2.3

La respuesta final es $6.49170722$ .

$6.49170722$

Paso 14.5

Sustituye cualquier número, como $4$ , del intervalo $(0.62944187, 6.9995834)$ en la primera derivada $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = 72 {(4)}^{7} - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Paso 14.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.5.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $7$ .

$f' (4) = 72 \cdot 16384 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Paso 14.5.2.1.2

Multiplica $72$ por $16384$ .

$f' (4) = 1179648 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Paso 14.5.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $6$ .

$f' (4) = 1179648 - 504 \cdot 4096 + 72 {(4)}^{2}$

Paso 14.5.2.1.4

Multiplica $- 504$ por $4096$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 {(4)}^{2}$

Paso 14.5.2.1.5

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 \cdot 16$

Paso 14.5.2.1.6

Multiplica $72$ por $16$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 1152$

Paso 14.5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.2.2.1

Resta $2064384$ de $1179648$ .

$f' (4) = - 884736 + 1152$

Paso 14.5.2.2.2

Suma $- 884736$ y $1152$ .

$f' (4) = - 883584$

Paso 14.5.2.3

La respuesta final es $- 883584$ .

$- 883584$

Paso 14.6

Sustituye cualquier número, como $9$ , del intervalo $(6.9995834, \infty)$ en la primera derivada $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.6.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f' (9) = 72 {(9)}^{7} - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Paso 14.6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.6.2.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $7$ .

$f' (9) = 72 \cdot 4782969 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Paso 14.6.2.1.2

Multiplica $72$ por $4782969$ .

$f' (9) = 344373768 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Paso 14.6.2.1.3

Eleva $9$ a la potencia de $6$ .

$f' (9) = 344373768 - 504 \cdot 531441 + 72 {(9)}^{2}$

Paso 14.6.2.1.4

Multiplica $- 504$ por $531441$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 {(9)}^{2}$

Paso 14.6.2.1.5

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 \cdot 81$

Paso 14.6.2.1.6

Multiplica $72$ por $81$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 5832$

Paso 14.6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.6.2.2.1

Resta $267846264$ de $344373768$ .

$f' (9) = 76527504 + 5832$

Paso 14.6.2.2.2

Suma $76527504$ y $5832$ .

$f' (9) = 76533336$

Paso 14.6.2.3

La respuesta final es $76533336$ .

$76533336$

Paso 14.7

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = - 0.60223321$ , $x = - 0.60223321$ es un mínimo local.

$x = - 0.60223321$ es un mínimo local

Paso 14.8

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 14.9

Como la primera derivada cambió los signos de positivo a negativo alrededor de $x = 0.62944187$ , $x = 0.62944187$ es un máximo local.

$x = 0.62944187$ es un máximo local

Paso 14.10

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 6.9995834$ , $x = 6.9995834$ es un mínimo local.

$x = 6.9995834$ es un mínimo local

Paso 14.11

Estos son los extremos locales de $f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ .

$x = - 0.60223321$ es un mínimo local

$x = 0.62944187$ es un máximo local

$x = 6.9995834$ es un mínimo local

$x = - 0.60223321$ es un mínimo local

$x = 0.62944187$ es un máximo local

$x = 6.9995834$ es un mínimo local

Paso 15