Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - \sec^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sec^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Paso 2.2.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Paso 2.2.4

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Paso 2.2.5

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Paso 2.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Paso 2.2.7

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Paso 2.2.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Paso 2.3

Resta $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

Paso 4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

Paso 5

Divide cada término en $- \sec^{2} (x) = - 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- \sec^{2} (x) = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.2.2

Divide $\sec^{2} (x)$ por $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Divide $- 2$ por $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Paso 6

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Paso 7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Paso 7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 8

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Paso 9

Resuelve $x$ en $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

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Paso 9.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Paso 9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1

El valor exacto de $arcsec (\sqrt{2})$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 9.3

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Paso 9.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Paso 9.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 9.4.2

Combina fracciones.

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Paso 9.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 9.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 9.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Paso 9.4.3.2

Resta $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Paso 9.5

La solución a la ecuación $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Paso 10

Resuelve $x$ en $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

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Paso 10.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Paso 10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.1

El valor exacto de $arcsec (- \sqrt{2})$ es $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 10.3

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Paso 10.4

Simplifica $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 10.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 10.4.2

Combina fracciones.

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Paso 10.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Paso 10.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Paso 10.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Paso 10.4.3.2

Resta $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 10.5

La solución a la ecuación $x = \frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Paso 11

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Paso 12

Excluye las soluciones que no hagan que $2 - \sec^{2} (x) = 0$ sea verdadera.

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 14.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.2

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 14.3.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 14.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.3.6.5

Evalúa el exponente.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.4.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.5

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.5.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.5.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.5.5

Evalúa el exponente.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.6

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 4 \tan (\frac{π}{4})$

Paso 14.7

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 14.8

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 15

$x = \frac{π}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{π}{4}$ es un máximo local

Paso 16

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 16.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

Paso 16.2

Simplifica el resultado.

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{2 (2)}) - \tan (\frac{π}{4})$

Paso 16.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{π}{4})$

Paso 16.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Paso 16.2.1.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Paso 16.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - 1$

Paso 16.2.2

La respuesta final es $\frac{π}{2} - 1$ .

$y = \frac{π}{2} - 1$

Paso 17

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{7 π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 18.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.2

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 18.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 18.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 18.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.4.6.5

Evalúa el exponente.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.5.1

Cancela el factor común.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.5.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 18.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.6.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.6.5

Evalúa el exponente.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.7

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 4 \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 18.8

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la tangente es negativa en el cuarto cuadrante.

$- 4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Paso 18.9

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Paso 18.10

Multiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 18.10.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Paso 18.10.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$4$

Paso 19

$x = \frac{7 π}{4}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{7 π}{4}$ es un mínimo local

Paso 20

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Paso 20.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 20.2

Simplifica el resultado.

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Paso 20.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 20.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 20.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 20.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Paso 20.2.1.2

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + \tan (\frac{π}{4})$

Paso 20.2.1.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 20.2.1.4

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 20.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + 1$

Paso 20.2.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + 1$

Paso 20.2.2

La respuesta final es $\frac{7 π}{2} + 1$ .

$y = \frac{7 π}{2} + 1$

Paso 21

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{3 π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sec^{2} (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la secante es negativa en el segundo cuadrante.

$- 2 {(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.2

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.4

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.4.6.5

Evalúa el exponente.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.5.1

Cancela el factor común.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.5.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- 2 {(- \sqrt{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 22.6.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$- 2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.6.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 2 (1 {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.6.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.7.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.7.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.7.5

Evalúa el exponente.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.8

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 4 \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 22.9

$- 4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Paso 22.10

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Paso 22.11

Multiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 22.11.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Paso 22.11.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$4$

Paso 23

$x = \frac{3 π}{4}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{4}$ es un mínimo local

Paso 24

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 24.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 24.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 24.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 24.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 24.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 24.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 24.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Paso 24.2.1.2

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + \tan (\frac{π}{4})$

Paso 24.2.1.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Paso 24.2.1.4

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 24.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + 1$

Paso 24.2.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + 1$

Paso 24.2.2

La respuesta final es $\frac{3 π}{2} + 1$ .

$y = \frac{3 π}{2} + 1$

Paso 25

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{5 π}{4}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 2 \sec^{2} (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 26.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la obtención del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la secante es negativa en el tercer cuadrante.

$- 2 {(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.2

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.4

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 26.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 26.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 26.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.4.6.5

Evalúa el exponente.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 26.5.1

Cancela el factor común.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.5.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$- 2 {(- \sqrt{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 26.6.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$- 2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.6.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- 2 (1 {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.6.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 26.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 26.7.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.7.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.7.5

Evalúa el exponente.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.8

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 4 \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 26.9

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- 4 \tan (\frac{π}{4})$

Paso 26.10

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 26.11

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 27

$x = \frac{5 π}{4}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = \frac{5 π}{4}$ es un máximo local

Paso 28

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{5 π}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 28.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5 π}{4}$ en la expresión.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 28.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 28.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 28.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 28.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 28.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 28.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Paso 28.2.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Paso 28.2.1.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

Paso 28.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - 1$

Paso 28.2.2

La respuesta final es $\frac{5 π}{2} - 1$ .

$y = \frac{5 π}{2} - 1$

Paso 29

Estos son los extremos locales de $f (x) = 2 x - \tan (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1)$ es un máximo local

$(\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1)$ es un mínimo local

$(\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1)$ es un mínimo local

$(\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1)$ es un máximo local

Paso 30