Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x - \sin (2 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Paso 1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$2 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$2 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - (\cos (2 x) \cdot 2)$

Paso 1.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 - (2 \cdot \cos (2 x))$

Paso 1.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 - 2 \cos (2 x)$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 2 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \cos (2 x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Paso 2.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Paso 2.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Paso 2.2.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- 2 \sin (2 x))$

Paso 2.2.7

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \sin (2 x)$

Paso 2.3

Suma $0$ y $4 \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 \sin (2 x)$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$2 - 2 \cos (2 x) = 0$

Paso 4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \cos (2 x) = - 2$

Paso 5

Divide cada término en $- 2 \cos (2 x) = - 2$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $- 2 \cos (2 x) = - 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 5.2.1.2

Divide $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Divide $- 2$ por $- 2$ .

$\cos (2 x) = 1$

Paso 6

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$2 x = \arccos (1)$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$2 x = 0$

Paso 8

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 9

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$2 x = 2 π - 0$

Paso 10

Resuelve $x$

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

Paso 10.1.2

Suma $2 π$ y $0$ .

$2 x = 2 π$

Paso 10.2

Divide cada término en $2 x = 2 π$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.1

Divide cada término en $2 x = 2 π$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Paso 10.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Paso 10.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Paso 10.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 π}{2}$

Paso 10.2.3.1.2

Divide $π$ por $1$ .

$x = π$

Paso 11

La solución a la ecuación $2 x = 0$ .

$x = 0, π$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 \sin (2 (0))$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 13.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$4 \sin (0)$

Paso 13.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 \cdot 0$

Paso 13.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$0$

Paso 14

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 14.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Paso 14.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $2 - 2 \cos (2 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (2 (- 2))$

Paso 14.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (- 4)$

Paso 14.2.2.1.2

Evalúa $\cos (- 4)$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

Paso 14.2.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 0.65364362$ .

$f' (- 2) = 2 + 1.30728724$

Paso 14.2.2.2

Suma $2$ y $1.30728724$ .

$f' (- 2) = 3.30728724$

Paso 14.2.2.3

La respuesta final es $3.30728724$ .

$3.30728724$

Paso 14.3

Sustituye cualquier número, como $2$ , del intervalo $(0, π)$ en la primera derivada $2 - 2 \cos (2 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 2 - 2 \cos (2 (2))$

Paso 14.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.3.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cos (4)$

Paso 14.3.2.1.2

Evalúa $\cos (4)$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

Paso 14.3.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 0.65364362$ .

$f' (2) = 2 + 1.30728724$

Paso 14.3.2.2

Suma $2$ y $1.30728724$ .

$f' (2) = 3.30728724$

Paso 14.3.2.3

La respuesta final es $3.30728724$ .

$3.30728724$

Paso 14.4

Sustituye cualquier número, como $6$ , del intervalo $(π, \infty)$ en la primera derivada $2 - 2 \cos (2 x)$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 14.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = 2 - 2 \cos (2 (6))$

Paso 14.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 14.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.4.2.1.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cos (12)$

Paso 14.4.2.1.2

Evalúa $\cos (12)$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cdot 0.84385395$

Paso 14.4.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $0.84385395$ .

$f' (6) = 2 - 1.68770791$

Paso 14.4.2.2

Resta $1.68770791$ de $2$ .

$f' (6) = 0.31229208$

Paso 14.4.2.3

La respuesta final es $0.31229208$ .

$0.31229208$

Paso 14.5

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 14.6

No se obtuvieron máximos ni mínimos locales para $f (x) = 2 x - \sin (2 x)$ .

No hay máximos ni mínimos locales

Paso 15