Cálculo Ejemplos

$\frac{5 x - 7}{35 x^{3}}$

Paso 1

Como $\frac{1}{35}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5 x - 7}{35 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{35} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 7}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{35} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 7}{x^{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 5 x - 7$ y $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.6

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 + 0) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.7.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \cdot 5 - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.7.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 \cdot x^{3} - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 x^{3} - (5 x - 7) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 3.9

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.9.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 x^{3} - 3 (5 x - 7) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.9.2

Factoriza $x^{2}$ de $5 x^{3} - 3 (5 x - 7) x^{2}$ .

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Paso 3.9.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $5 x^{3}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x) - 3 (5 x - 7) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 3.9.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 (5 x - 7) x^{2}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x) + x^{2} (- 3 (5 x - 7))}{x^{6}}$

Paso 3.9.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (5 x) + x^{2} (- 3 (5 x - 7))$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x - 3 (5 x - 7))}{x^{6}}$

Paso 4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x - 3 (5 x - 7))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x - 3 (5 x - 7))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 x - 3 (5 x - 7)}{x^{4}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{1}{35}$ por $\frac{5 x - 3 (5 x - 7)}{x^{4}}$ .

$\frac{5 x - 3 (5 x - 7)}{35 x^{4}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x - 3 (5 x) - 3 \cdot - 7}{35 x^{4}}$

Paso 6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$\frac{5 x - 15 x - 3 \cdot - 7}{35 x^{4}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 7$ .

$\frac{5 x - 15 x + 21}{35 x^{4}}$

Paso 6.2.2

Resta $15 x$ de $5 x$ .

$\frac{- 10 x + 21}{35 x^{4}}$

Paso 6.3

Factoriza $- 1$ de $- 10 x$ .

$\frac{- (10 x) + 21}{35 x^{4}}$

Paso 6.4

Reescribe $21$ como $- 1 (- 21)$ .

$\frac{- (10 x) - 1 (- 21)}{35 x^{4}}$

Paso 6.5

Factoriza $- 1$ de $- (10 x) - 1 (- 21)$ .

$\frac{- (10 x - 21)}{35 x^{4}}$

Paso 6.6

Reescribe $- (10 x - 21)$ como $- 1 (10 x - 21)$ .

$\frac{- 1 (10 x - 21)}{35 x^{4}}$

Paso 6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10 x - 21}{35 x^{4}}$