Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{2 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{x}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} \sin (3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

Paso 3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 5} 3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

Paso 4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 5} x)}{lim_{x \to 5} x}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $5$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} x}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{5}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (15)}{5}$

Paso 6.1.2

El valor exacto de $\sin (15)$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 6.1.2.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - 30)}{5}$

Paso 6.1.2.2

Separa la negación.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - (30))}{5}$

Paso 6.1.2.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Paso 6.1.2.4

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Paso 6.1.2.5

El valor exacto de $\cos (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Paso 6.1.2.6

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{5}$

Paso 6.1.2.7

El valor exacto de $\sin (30)$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Paso 6.1.2.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.2.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 6.1.2.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Paso 6.1.2.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Paso 6.1.2.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Paso 6.1.2.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Paso 6.1.2.8.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.1.2.8.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{5}$

Paso 6.1.2.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{5}$

Paso 6.1.2.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{5}$

Paso 6.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 5}$

Paso 6.3.2

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$

Paso 6.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ .

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 20}$

Paso 6.4.2

Multiplica $2$ por $20$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

Forma decimal:

$0.02588190 \dots$