Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3}{5 x \csc (3 x)}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{3}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{5} lim_{x \to 0} \frac{1}{x \csc (3 x)}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x \csc (3 x)}$

Paso 3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x \csc (3 x)}$

Paso 4

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (3 x)$

Paso 5

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $x \csc (3 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & x \csc (3 x) \\ - 0.1 & 0.33838633 \\ - 0.01 & 0.33338333 \\ - 0.001 & 0.33333383 \end{array}$

Paso 6

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0.333$ . Por lo tanto, el límite de $x \csc (3 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $0.333$ .

$0.333$

Paso 7

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (3 x)$

Paso 8

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $x \csc (3 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & x \csc (3 x) \\ 0.1 & 0.33838633 \\ 0.01 & 0.33338333 \\ 0.001 & 0.33333383 \end{array}$

Paso 9

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0.333$ . Por lo tanto, el límite de $x \csc (3 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $0.333$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{0.333}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Divide $1$ por $0.333$ .

$\frac{3}{5} \cdot 3.\overline{003}$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{3}{5} \cdot 3.\overline{003}$ .

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Paso 10.2.1

Combina $\frac{3}{5}$ y $3.\overline{003}$ .

$\frac{3 \cdot 3.\overline{003}}{5}$

Paso 10.2.2

Multiplica $3$ por $3.\overline{003}$ .

$\frac{9.\overline{009}}{5}$

Paso 10.3

Divide $9.\overline{009}$ por $5$ .

$1.\overline{801}$