Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{5} (x)}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{5} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el exponente $5$ de $\sin^{5} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin^{5} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin^{5} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0^{5}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{5} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{5} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{5} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 u^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin^{4} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin^{4} (x) \cos (x)}{1}$

Paso 1.4

Divide $5 \sin^{4} (x) \cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 5 \sin^{4} (x) \cos (x)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 lim_{x \to 0} \sin^{4} (x) \cos (x)$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$5 lim_{x \to 0} \sin^{4} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)$

Paso 2.3

Mueve el exponente $4$ de $\sin^{4} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$5 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{4} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$5 \sin^{4} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)$

Paso 2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$5 \sin^{4} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$5 \sin^{4} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$5 \sin^{4} (0) \cdot \cos (0)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$5 \cdot 0^{4} \cdot \cos (0)$

Paso 4.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$5 \cdot 0 \cdot \cos (0)$

Paso 4.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Paso 4.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 \cdot 1$

Paso 4.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$0$