Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 4} \frac{5 (x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 1

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$5 \frac{lim_{x \to 4} (x - 4) \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$5 \frac{lim_{x \to 4} x - 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2.3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2.6

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $4$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$5 \frac{(4 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$5 \frac{(4 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.8.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$5 \frac{(4 - 4) \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2.8.2

Resta $4$ de $4$ .

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2.8.3

Suma $4$ y $12$ .

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{16}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2.8.4

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{4^{2}}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2.8.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$5 \frac{0 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.2.8.6

Multiplica $0$ por $4$ .

$5 \frac{0}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$5 \frac{0}{lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.3.1.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$5 \frac{0}{4 - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.1.3.1.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}$

Paso 2.1.3.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 12}}$

Paso 2.1.3.1.5

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{4 + 12}}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.3.1.1

Suma $4$ y $12$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{16}}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{4^{2}}}$

Paso 2.1.3.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$5 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Paso 2.1.3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$5 \frac{0}{4 - 4}$

Paso 2.1.3.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$5 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$5 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$5 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$5 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) \sqrt{x + 12}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) \sqrt{x + 12}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 12}$ como ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 4$ y $g (x) = {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 12$ .

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Paso 2.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.10

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.11

Mueve ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [12]) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.14

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.15

Suma $1$ y $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.16

Multiplica $x - 4$ por $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.17

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.19

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.20

Suma $1$ y $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.21

Multiplica ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22

Simplifica.

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Paso 2.3.22.1

Multiplica $x - 4$ por $\frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.2

Para escribir ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.3

Combina ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.22.5.1

Multiplica ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.22.5.1.1

Mueve ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.5.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.5.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.5.2

Simplifica ${(x + 12)}^{1} \cdot 2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + (x + 12) \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + x \cdot 2 + 12 \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.5.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + 2 \cdot x + 12 \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.5.5

Multiplica $12$ por $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + 2 \cdot x + 24}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.5.6

Suma $x$ y $2 x$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x - 4 + 24}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.22.5.7

Suma $- 4$ y $24$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.23

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - \sqrt{x + 12}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.24

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]}$

Paso 2.3.25

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]$ .

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Paso 2.3.25.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 12}$ como ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 2.3.25.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 2.3.25.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 12$ .

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Paso 2.3.25.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 12]}$

Paso 2.3.25.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12]}$

Paso 2.3.25.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12]}$

Paso 2.3.25.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12])}$

Paso 2.3.25.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [12])}$

Paso 2.3.25.6

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)}$

Paso 2.3.25.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)}$

Paso 2.3.25.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

Paso 2.3.25.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

Paso 2.3.25.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.25.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)}$

Paso 2.3.25.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)}$

Paso 2.3.25.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)}$

Paso 2.3.25.12

Suma $1$ y $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}$

Paso 2.3.25.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}$

Paso 2.3.25.14

Multiplica $\frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Paso 2.3.25.15

Mueve ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26

Resta $\frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.5

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 2.5.1

Reescribe ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 1 \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.5.2

Reescribe ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 1 \cdot 2 \sqrt{x + 12}$

Paso 2.6

Combina factores.

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Paso 2.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 2 \sqrt{x + 12}$

Paso 2.6.2

Combina $- 2$ y $\frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{- 2 (3 x + 20)}{2 \sqrt{x + 12}} \sqrt{x + 12}$

Paso 2.6.3

Combina $\frac{- 2 (3 x + 20)}{2 \sqrt{x + 12}}$ y $\sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{- 2 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.7

Reduce.

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Paso 2.7.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.7.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.7.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.7.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 (\sqrt{x + 12})}$

Paso 2.7.1.2.2

Cancela el factor común.

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

Paso 2.7.1.2.3

Reescribe la expresión.

$5 lim_{x \to 4} \frac{- (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{\sqrt{x + 12}}$

Paso 2.7.2

Cancela el factor común de $\sqrt{x + 12}$ .

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Paso 2.7.2.1

Cancela el factor común.

$5 lim_{x \to 4} \frac{- (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{\sqrt{x + 12}}$

Paso 2.7.2.2

Divide $- (3 x + 20)$ por $1$ .

$5 lim_{x \to 4} - (3 x + 20)$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 \cdot - 1 lim_{x \to 4} 3 x + 20$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$5 \cdot - 1 (lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 20)$

Paso 3.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$5 \cdot - 1 (3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 20)$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $20$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$5 \cdot - 1 (3 lim_{x \to 4} x + 20)$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$5 \cdot - 1 (3 \cdot 4 + 20)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 (3 \cdot 4 + 20)$

Paso 5.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$- 5 (12 + 20)$

Paso 5.3

Suma $12$ y $20$ .

$- 5 \cdot 32$

Paso 5.4

Multiplica $- 5$ por $32$ .

$- 160$