Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 5 x}{4 x^{4} + 10 x^{3} + 2}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{10 x^{3}}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 3}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{10 x^{3}}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 3}{x^{3} x} + \frac{5 x}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{10 x^{3}}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 3}{x^{3} x} + \frac{5 x}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{10 x^{3}}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{5 x}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{10 x^{3}}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{x \cdot 5}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{10 x^{3}}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{10 x^{3}}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{10 x^{3}}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{10 x^{3}}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{10 x^{3}}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{4 + \frac{10 x^{3}}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{4}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $10 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{4 + \frac{x^{3} \cdot 10}{x^{4}} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{4 + \frac{x^{3} \cdot 10}{x^{3} x} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{4 + \frac{x^{3} \cdot 10}{x^{3} x} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{4 + \frac{10}{x} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 2.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x} + \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 6.3

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{4 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{4}}}$

Paso 8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{4}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Cancela el factor común de $3 \cdot 0 + 5 \cdot 0$ y $4 + 10 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ .

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Paso 10.1.1

Reordena los términos.

$\frac{0 \cdot 3 + 0 \cdot 5}{4 + 10 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Paso 10.1.2

Factoriza $2$ de $0 \cdot 3$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3) + 0 \cdot 5}{4 + 10 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Paso 10.1.3

Factoriza $2$ de $0 \cdot 5$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3) + 2 (0 \cdot 5)}{4 + 10 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Paso 10.1.4

Factoriza $2$ de $2 (0 \cdot 3) + 2 (0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{4 + 10 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Paso 10.1.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.1.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{2 (2) + 10 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Paso 10.1.5.2

Factoriza $2$ de $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{2 (2) + 2 (5 \cdot 0) + 2 \cdot 0}$

Paso 10.1.5.3

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{2 (2 + 5 \cdot 0) + 2 \cdot 0}$

Paso 10.1.5.4

Factoriza $2$ de $2 \cdot 0$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{2 (2 + 5 \cdot 0) + 2 (0)}$

Paso 10.1.5.5

Factoriza $2$ de $2 (2 + 5 \cdot 0) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{2 (2 + 5 \cdot 0 + 0)}$

Paso 10.1.5.6

Cancela el factor común.

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{2 (2 + 5 \cdot 0 + 0)}$

Paso 10.1.5.7

Reescribe la expresión.

$\frac{0 \cdot 3 + 0 \cdot 5}{2 + 5 \cdot 0 + 0}$

Paso 10.2

Cancela el factor común de $0 \cdot 3 + 0 \cdot 5$ y $2 + 5 \cdot 0 + 0$ .

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Paso 10.2.1

Reordena los términos.

$\frac{0 \cdot 3 + 0 \cdot 5}{2 + 0 \cdot 5 + 0}$

Paso 10.2.2

Factoriza $2$ de $0 \cdot 3$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3) + 0 \cdot 5}{2 + 0 \cdot 5 + 0}$

Paso 10.2.3

Factoriza $2$ de $0 \cdot 5$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3) + 2 (0 \cdot 5)}{2 + 0 \cdot 5 + 0}$

Paso 10.2.4

Factoriza $2$ de $2 (0 \cdot 3) + 2 (0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{2 + 0 \cdot 5 + 0}$

Paso 10.2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{2 (1) + 0 \cdot 5 + 0}$

Paso 10.2.5.2

Factoriza $2$ de $0 \cdot 5$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{2 (1) + 2 (0 \cdot 5) + 0}$

Paso 10.2.5.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{2 (1 + 0 \cdot 5) + 0}$

Paso 10.2.5.4

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{2 (1 + 0 \cdot 5) + 2 \cdot 0}$

Paso 10.2.5.5

Factoriza $2$ de $2 (1 + 0 \cdot 5) + 2 \cdot 0$ .

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{2 (1 + 0 \cdot 5 + 0)}$

Paso 10.2.5.6

Cancela el factor común.

$\frac{2 (0 \cdot 3 + 0 \cdot 5)}{2 (1 + 0 \cdot 5 + 0)}$

Paso 10.2.5.7

Reescribe la expresión.

$\frac{0 \cdot 3 + 0 \cdot 5}{1 + 0 \cdot 5 + 0}$

Paso 10.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.3.1

Multiplica $0$ por $3$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 5}{1 + 0 \cdot 5 + 0}$

Paso 10.3.2

Multiplica $0$ por $5$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 \cdot 5 + 0}$

Paso 10.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 \cdot 5 + 0}$

Paso 10.4

Simplifica el denominador.

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Paso 10.4.1

Multiplica $0$ por $5$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

Paso 10.4.2

Suma $1 + 0$ y $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Paso 10.4.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 10.5

Divide $0$ por $1$ .

$0$