Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2 x + 1 - 3}}{\sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{2 x + 1 - 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + 1 - 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - lim_{x \to 4} 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{lim_{x \to 4} \sqrt{x - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 2 \sqrt{2}}}$

Paso 9

Evalúa el límite de $2 \sqrt{2}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $4$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 4} x + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $4$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $4$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 4 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 11.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{8 + 1 - 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 11.1.3

Suma $8$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 11.1.4

Resta $3$ de $9$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 11.2

Combina $\sqrt{6}$ y $\sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}$ en un solo radical.

$\sqrt{\frac{6}{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 11.3

Reduce la expresión $\frac{6}{4 - 2 \sqrt{2}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 11.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\sqrt{\frac{2 (3)}{4 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 11.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2}}}$

Paso 11.3.3

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2})}}$

Paso 11.3.4

Factoriza $2$ de $2 (2) + 2 (- \sqrt{2})$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (2 - \sqrt{2})}}$

Paso 11.3.5

Cancela el factor común.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{2 (2 - \sqrt{2})}}$

Paso 11.3.6

Reescribe la expresión.

$\sqrt{\frac{3}{2 - \sqrt{2}}}$

Paso 11.4

Multiplica $\frac{3}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{3}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}}$

Paso 11.5

Multiplica $\frac{3}{2 - \sqrt{2}}$ por $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Paso 11.6

Expande el denominador con el método PEIU.

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Paso 11.7

Simplifica.

$\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Paso 11.8

Reescribe $\sqrt{\frac{3 (2 + \sqrt{2})}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$

Paso 11.9

Multiplica $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 11.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.10.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 11.10.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 11.10.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 11.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 11.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 11.10.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 11.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 11.10.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 11.10.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.10.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.10.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.10.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 11.10.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2}}{2}$

Paso 11.11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.11.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3 (2 + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2}$

Paso 11.11.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{6 (2 + \sqrt{2})}}{2}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{6 (2 + \sqrt{2})}}{2}$

Forma decimal:

$2.26303343 \dots$