Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{3 π}{4}} \sec (x - \frac{π}{1})$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide $π$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{4}} \sec (x - π)$

Paso 1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\sec (lim_{x \to \frac{3 π}{4}} x - π)$

Paso 1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{3 π}{4}$ .

$\sec (lim_{x \to \frac{3 π}{4}} x - lim_{x \to \frac{3 π}{4}} π)$

Paso 1.4

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{3 π}{4}$ .

$\sec (lim_{x \to \frac{3 π}{4}} x - π)$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{3 π}{4}$ para $x$ .

$\sec (\frac{3 π}{4} - π)$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Para escribir $- π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sec (\frac{3 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4})$

Paso 3.2

Combina $- π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\sec (\frac{3 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4})$

Paso 3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sec (\frac{3 π - π \cdot 4}{4})$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\sec (\frac{3 π - 4 π}{4})$

Paso 3.4.2

Resta $4 π$ de $3 π$ .

$\sec (\frac{- π}{4})$

Paso 3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sec (- \frac{π}{4})$

Paso 3.6

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\sec (\frac{7 π}{4})$

Paso 3.7

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\sec (\frac{π}{4})$

Paso 3.8

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{4})$ es $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}}$

Paso 3.9

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.10.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.10.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.10.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.10.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.10.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.10.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.10.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.10.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.10.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.10.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.11.2

Divide $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\sqrt{2}$

Forma decimal:

$1.41421356 \dots$