Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} - x^{2}$

Paso 1

Multiplica para racionalizar el numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} - x^{2}) (\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} + x^{2})}{\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} + x^{2}}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Expande el numerador con el método PEIU (primero, exterior, interior, último).

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}}}^{2} + \sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} x^{2} + \sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} (- x^{2}) - x^{4}}{\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} + x^{2}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Resta $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2} + 0}{\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} + x^{2}}$

Paso 2.2.2

Suma $- 9 x^{2}$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{4} - 9 x^{2}} + x^{2}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - 9 x^{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} - 9 x^{2}} + x^{2}}$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 9 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9} + x^{2}}$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 9)} + x^{2}}$

Paso 3.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x^{2} - 3^{2})} + x^{2}}$

Paso 3.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{2} (x + 3) (x - 3)} + x^{2}}$

Paso 3.1.4

Agrega paréntesis.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{\sqrt{x^{2} ((x + 3) (x - 3))} + x^{2}}$

Paso 3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 9 x^{2}}{x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + x^{2}}$

Paso 3.2

Mueve el término $- 9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + x^{2}}$

Paso 4

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} + 1}$

Paso 6

Expande $(x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x (x - 3) + 3 (x - 3)}}{x} + 1}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}}{x} + 1}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}}{x} + 1}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Paso 7.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 3$ y $3 x$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}}{x} + 1}$

Paso 7.1.2

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3}}{x} + 1}$

Paso 7.1.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x + 3 \cdot - 3}}{x} + 1}$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} + 3 \cdot - 3}}{x} + 1}$

Paso 7.2.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$- 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} + 1}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 9 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} + 1}$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} + 1}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 11.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 12

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 13

Evalúa el límite.

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Paso 13.1

Cancela el factor común de $x$ .

$- 9 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 13.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 13.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 14.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 14.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 3) (x - 3)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 14.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x - 3) + 3 (x - 3)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.2.4

Reordena $x$ y $- 3$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 14.1.2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.2.8.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 3 x + 3 x - 9}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.2.8.3

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 9}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.2.8.4

Resta $9$ de $0$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 9}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.2.9

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 14.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 14.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 3$ y $g (x) = x - 3$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.7

Multiplica $x + 3$ por $1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.10

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.12

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 3 + x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.13

Suma $x$ y $x$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.14

Resta $3$ de $3$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.15

Suma $2 x$ y $0$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.3.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.4

Reduce.

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Paso 14.4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.4.1.1

Cancela el factor común.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.4.1.2

Reescribe la expresión.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 14.4.2.1

Cancela el factor común.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 14.4.2.2

Reescribe la expresión.

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 15

Evalúa el límite.

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Paso 15.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 15.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 15.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$- 9 \frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{1} + 1}$

Paso 15.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.4.1

Divide $\sqrt{1}$ por $1$ .

$- 9 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Paso 15.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 15.4.2.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$- 9 \frac{1}{1 + 1}$

Paso 15.4.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$- 9 (\frac{1}{2})$

Paso 15.4.3

Combina $- 9$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 9}{2}$

Paso 15.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{2}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{9}{2}$

Forma decimal:

$- 4.5$