Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Paso 1.1.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{0}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{0^{3}}}$

Paso 1.1.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sqrt[3]{x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Paso 1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

Paso 1.3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}$

Paso 1.3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

Paso 1.3.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

Paso 1.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}$

Paso 1.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}$

Paso 1.3.8.2

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}$

Paso 1.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}$

Paso 1.3.10

Simplifica.

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Paso 1.3.10.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

Paso 1.3.10.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \cos (x) (3 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \cos (x) x^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} x^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$3 \cos (0) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$3 \cos (0) \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$3 \cdot 1 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.3

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.5.1

Cancela el factor común.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.5.2

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 0^{2}$

Paso 4.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 \cdot 0$

Paso 4.7

Multiplica $3$ por $0$ .

$0$