Cálculo Ejemplos

$f (x) = arccot (3 x^{2} - 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arccot (x)$ y $g (x) = 3 x^{2} - 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Paso 1.2

La derivada de $arccot (u)$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} - 1$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (6 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (6 x + 0)$

Paso 2.6

Combina fracciones.

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Paso 2.6.1

Suma $6 x$ y $0$ .

$- \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} (6 x)$

Paso 2.6.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 \frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} x$

Paso 2.6.3

Combina $- 6$ y $\frac{1}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 6}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}} x$

Paso 2.6.4

Combina $\frac{- 6}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}}$ y $x$ .

$\frac{- 6 x}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6 x}{1 + {(3 x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe ${(3 x^{2} - 1)}^{2}$ como $(3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1)$ .

$- \frac{6 x}{1 + (3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1)}$

Paso 3.2

Expande $(3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{6 x}{1 + 3 x^{2} (3 x^{2} - 1) - 1 (3 x^{2} - 1)}$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{6 x}{1 + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2} - 1)}$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{6 x}{1 + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Paso 3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{6 x}{1 + 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$- \frac{6 x}{1 + 3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Paso 3.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{6 x}{1 + 3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Paso 3.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$- \frac{6 x}{1 + 3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Paso 3.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} - 3 x^{2} - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1}$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} - 1 \cdot - 1}$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 1}$

Paso 3.3.2

Resta $3 x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{6 x}{1 + 9 x^{4} - 6 x^{2} + 1}$

Paso 3.4

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{6 x}{9 x^{4} - 6 x^{2} + 2}$