Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{1}{x})$

Paso 1

Reescribe $x \sin (\frac{1}{x})$ como $\frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 2.1.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.5.2

Combina $\cos (\frac{1}{x})$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 2.3.6

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

Paso 2.3.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \infty} - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} (- x^{2})$

Paso 2.5

Combina factores.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Paso 2.5.2

Multiplica $\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Paso 2.5.3

Combina $\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Paso 2.6.2

Divide $\cos (\frac{1}{x})$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{x})$

Paso 3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\cos (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\cos (0)$

Paso 5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$1$