Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2 + 4 x - 21}}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 3}{lim_{x \to 3} x^{2 + 4 x - 21}}$

Paso 1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} x^{2 + 4 x - 21}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{2 + 4 x - 21}}$

Paso 1.4

Resta $21$ de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} x^{4 x - 19}}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe $x^{4 x - 19}$ como $e^{\ln (x^{4 x - 19})}$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{\ln (x^{4 x - 19})}}$

Paso 2.2

Expande $\ln (x^{4 x - 19})$ ; para ello, mueve $4 x - 19$ fuera del logaritmo.

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} e^{(4 x - 19) \ln (x)}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} (4 x - 19) \ln (x)}}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{lim_{x \to 3} 4 x - 19 \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 19) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Paso 3.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 19) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $19$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 19) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}}$

Paso 3.6

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 19) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{e^{(4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 19) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{e^{(4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{e^{(4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Mueve $e^{(4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$(3 - 1 \cdot 3) e^{- (4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

Paso 5.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$(3 - 3) e^{- (4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

Paso 5.3

Resta $3$ de $3$ .

$0 e^{- (4 \cdot 3 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$0 e^{- (12 - 1 \cdot 19) \cdot \ln (3)}$

Paso 5.4.2

Multiplica $- 1$ por $19$ .

$0 e^{- (12 - 19) \cdot \ln (3)}$

Paso 5.5

Resta $19$ de $12$ .

$0 e^{- - 7 \cdot \ln (3)}$

Paso 5.6

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$0 e^{7 \cdot \ln (3)}$

Paso 5.7

Simplifica $7 \cdot \ln (3)$ al mover $7$ dentro del algoritmo.

$0 e^{\ln (3^{7})}$

Paso 5.8

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$0 \cdot 3^{7}$

Paso 5.9

Eleva $3$ a la potencia de $7$ .

$0 \cdot 2187$

Paso 5.10

Multiplica $0$ por $2187$ .

$0$