Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{2 + 5 x - 3 x^{4}}{x^{2} - 1}}$

Paso 1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 3} \frac{2 + 5 x - 3 x^{4}}{x^{2} - 1}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + 5 x - 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Paso 4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + lim_{x \to 3} 5 x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Paso 5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3 x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Paso 6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 lim_{x \to 3} x^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Paso 7

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - 1}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 1}}$

Paso 10

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 lim_{x \to 3} x - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 {(lim_{x \to 3} x)}^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{4}}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 5 \cdot 3 - 3 \cdot 3^{4}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 3^{4}}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 3 \cdot 81}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.3

Multiplica $- 3$ por $81$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 + 15 - 243}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.4

Suma $2$ y $15$ .

$\sqrt[3]{\frac{17 - 243}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.5

Resta $243$ de $17$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{3^{2} - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{9 - 1 \cdot 1}}$

Paso 12.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{9 - 1}}$

Paso 12.8

Resta $1$ de $9$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 226}{8}}$

Paso 12.9

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 12.9.1

Cancela el factor común de $- 226$ y $8$ .

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Paso 12.9.1.1

Factoriza $2$ de $- 226$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 (- 113)}{8}}$

Paso 12.9.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.9.1.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 \cdot - 113}{2 \cdot 4}}$

Paso 12.9.1.2.2

Cancela el factor común.

$\sqrt[3]{\frac{2 \cdot - 113}{2 \cdot 4}}$

Paso 12.9.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt[3]{\frac{- 113}{4}}$

Paso 12.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sqrt[3]{- \frac{113}{4}}$

Paso 12.10

Reescribe $- \frac{113}{4}$ como ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{113}{4}$ .

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Paso 12.10.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{113}{4}}$

Paso 12.10.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{113}{4}}$

Paso 12.11

Retira los términos de abajo del radical.

${(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{113}{4}}$

Paso 12.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \sqrt[3]{\frac{113}{4}}$

Paso 12.13

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{113}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 12.14

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$- (\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Paso 12.15

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 12.15.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{113}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 12.15.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 12.15.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Paso 12.15.4

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Paso 12.15.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 12.15.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 12.15.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 12.15.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 12.15.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.15.5.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 12.15.5.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Paso 12.15.5.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{\sqrt[3]{113} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 12.16

Simplifica el numerador.

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Paso 12.16.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Paso 12.16.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{16}}{4}$

Paso 12.16.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 12.16.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Paso 12.16.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{113} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Paso 12.16.4

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{\sqrt[3]{113} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Paso 12.16.5

Combina exponentes.

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Paso 12.16.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$- \frac{2 \sqrt[3]{113 \cdot 2}}{4}$

Paso 12.16.5.2

Multiplica $113$ por $2$ .

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{4}$

Paso 12.17

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 12.17.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{226}$ .

$- \frac{2 (\sqrt[3]{226})}{4}$

Paso 12.17.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.17.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{2 \cdot 2}$

Paso 12.17.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \sqrt[3]{226}}{2 \cdot 2}$

Paso 12.17.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{\sqrt[3]{226}}{2}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{\sqrt[3]{226}}{2}$

Forma decimal:

$- 3.04559967 \dots$