Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + 3 - \sqrt{x^{3} - 2}}{\sqrt{x + 1}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + 3 - \sqrt{x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 3 - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Paso 3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 3 - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Paso 4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - lim_{x \to 3} \sqrt{x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Paso 5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{lim_{x \to 3} x^{3} - 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Paso 7

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Paso 8

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{lim_{x \to 3} \sqrt{x + 1}}$

Paso 9

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}$

Paso 11

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $3$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3^{2} + 3 - \sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3^{2} + 3 - \sqrt{3^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{lim_{x \to 3} x + 1}}$

Paso 12.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{3^{2} + 3 - \sqrt{3^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{3 + 1}}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{3^{3} - 1 \cdot 2}}{\sqrt{3 + 1}}$

Paso 13.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{27 - 1 \cdot 2}}{\sqrt{3 + 1}}$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{27 - 2}}{\sqrt{3 + 1}}$

Paso 13.1.4

Resta $2$ de $27$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{25}}{\sqrt{3 + 1}}$

Paso 13.1.5

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{9 + 3 - \sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3 + 1}}$

Paso 13.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{9 + 3 - 1 \cdot 5}{\sqrt{3 + 1}}$

Paso 13.1.7

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{9 + 3 - 5}{\sqrt{3 + 1}}$

Paso 13.1.8

Suma $9$ y $3$ .

$\frac{12 - 5}{\sqrt{3 + 1}}$

Paso 13.1.9

Resta $5$ de $12$ .

$\frac{7}{\sqrt{3 + 1}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{7}{\sqrt{4}}$

Paso 13.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{7}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 13.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{7}{2}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{7}{2}$

Forma decimal:

$3.5$