Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \frac{x^{4} - 81}{t^{3} - 27}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Mueve el término $\frac{1}{t^{3} - 27}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{t^{3} - 27} lim_{x \to 3} x^{4} - 81$

Paso 1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{1}{t^{3} - 27} (lim_{x \to 3} x^{4} - lim_{x \to 3} 81)$

Paso 1.3

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{t^{3} - 27} ({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - lim_{x \to 3} 81)$

Paso 1.4

Evalúa el límite de $81$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{1}{t^{3} - 27} ({(lim_{x \to 3} x)}^{4} - 1 \cdot 81)$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{1}{t^{3} - 27} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{1}{t^{3} - 3^{3}} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Paso 3.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = t$ y $b = 3$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + t \cdot 3 + 3^{2})} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Paso 3.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 \cdot t + 3^{2})} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Paso 3.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (3^{4} - 1 \cdot 81)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (81 - 1 \cdot 81)$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} (81 - 81)$

Paso 3.3

Resta $81$ de $81$ .

$\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)} \cdot 0$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{1}{(t - 3) (t^{2} + 3 t + 9)}$ por $0$ .

$0$