Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sin^{2} (x)$ como $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

Paso 3

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Paso 3.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Paso 3.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{0} - 1 + u^{2} d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{0} - 1 d u + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$- u]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u]_{1}^{0} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Paso 7

Combina $- u]_{1}^{0}$ y $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$ .

$- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

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Paso 8.1

Evalúa $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ en $0$ y en $1$ .

$(- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 8.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 8.2.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 8.2.4

Suma $0$ y $0$ .

$0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 8.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 8.2.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

Paso 8.2.7

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3})$

Paso 8.2.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

Paso 8.2.9

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

Paso 8.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

Paso 8.2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.11.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$0 - \frac{- 3 + 1}{3}$

Paso 8.2.11.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$0 - \frac{- 2}{3}$

Paso 8.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 - - \frac{2}{3}$

Paso 8.2.13

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3})$

Paso 8.2.14

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$0 + \frac{2}{3}$

Paso 8.2.15

Suma $0$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$