Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{\frac{x^{3}}{x - 2}}}{x}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{x^{3}}{x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Paso 2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{x^{3}}{x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} x^{3}}{lim_{x \to 8} x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Paso 4

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Paso 6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{8 - 1 \cdot 2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Paso 7.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{8^{3}}{8 - 1 \cdot 2}}}{8}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{8 - 1 \cdot 2}}}{8}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{8 - 2}}}{8}$

Paso 8.2.2

Resta $2$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{\frac{512}{6}}}{8}$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $512$ y $6$ .

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Paso 8.3.1.1

Factoriza $2$ de $512$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 (256)}{6}}}{8}$

Paso 8.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 256}{2 \cdot 3}}}{8}$

Paso 8.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{\frac{2 \cdot 256}{2 \cdot 3}}}{8}$

Paso 8.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{\frac{256}{3}}}{8}$

Paso 8.3.2

Reescribe $\sqrt{\frac{256}{3}}$ como $\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{3}}}{8}$

Paso 8.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.3.1

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{16^{2}}}{\sqrt{3}}}{8}$

Paso 8.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\frac{16}{\sqrt{3}}}{8}$

Paso 8.3.4

Multiplica $\frac{16}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{16}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{8}$

Paso 8.3.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.3.5.1

Multiplica $\frac{16}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{8}$

Paso 8.3.5.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{8}$

Paso 8.3.5.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{8}$

Paso 8.3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{8}$

Paso 8.3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{8}$

Paso 8.3.5.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.3.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{8}$

Paso 8.3.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{8}$

Paso 8.3.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Paso 8.3.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{8}$

Paso 8.3.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3^{1}}}{8}$

Paso 8.3.5.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{16 \sqrt{3}}{3}}{8}$

Paso 8.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{16 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Paso 8.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 8.5.1

Factoriza $8$ de $16 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Paso 8.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{1}{8}$

Paso 8.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$1.15470053 \dots$