Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{1 - (\cos^{2} (3 x))}{x \sin (5 x)}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - (\cos^{2} (3 x))}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Paso 3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 8} \cos^{2} (3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $\cos^{2} (3 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 8} \cos (3 x))}^{2}}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Paso 5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 8} 3 x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Paso 6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \sin (5 x)}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (5 x)}$

Paso 8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} 5 x)}$

Paso 9

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{lim_{x \to 8} x \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 lim_{x \to 8} x)}$

Paso 10.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sin^{2} (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Paso 11.2

Factoriza $\sin (3 \cdot 8)$ de $\sin^{2} (3 \cdot 8)$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8) \sin (3 \cdot 8)}{8 \cdot \sin (5 \cdot 8)}$

Paso 11.3

Separa las fracciones.

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$

Paso 11.4

Reescribe $\frac{\sin (3 \cdot 8)}{\sin (5 \cdot 8)}$ como un producto.

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Paso 11.5

Escribe $\sin (3 \cdot 8)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\frac{\sin (3 \cdot 8)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Paso 11.6

Simplifica.

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Paso 11.6.1

Divide $\sin (3 \cdot 8)$ por $1$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \frac{1}{\sin (5 \cdot 8)})$

Paso 11.6.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (5 \cdot 8)}$ a $\csc (5 \cdot 8)$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 8)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Paso 11.7

Simplifica el numerador.

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Paso 11.7.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{\sin (24)}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Paso 11.7.2

Evalúa $\sin (24)$ .

$\frac{0.40673664}{8} (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Paso 11.8

Divide $0.40673664$ por $8$ .

$0.05084208 (\sin (3 \cdot 8) \csc (5 \cdot 8))$

Paso 11.9

Multiplica $3$ por $8$ .

$0.05084208 (\sin (24) \csc (5 \cdot 8))$

Paso 11.10

Evalúa $\sin (24)$ .

$0.05084208 (0.40673664 \csc (5 \cdot 8))$

Paso 11.11

Multiplica $5$ por $8$ .

$0.05084208 (0.40673664 \csc (40))$

Paso 11.12

Evalúa $\csc (40)$ .

$0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$

Paso 11.13

Multiplica $0.05084208 (0.40673664 \cdot 1.55572382)$ .

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Paso 11.13.1

Multiplica $0.40673664$ por $1.55572382$ .

$0.05084208 \cdot 0.63276988$

Paso 11.13.2

Multiplica $0.05084208$ por $0.63276988$ .

$0.03217133$