Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} (\sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2}) x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - \sqrt{5 x - 2} \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} \sqrt{5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Paso 4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{(\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Paso 5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \sqrt{5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Paso 6

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} 5 x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Paso 8

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Paso 9

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Paso 10

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{(\sqrt{5 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Paso 11.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{(\sqrt{5 \cdot 8} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

Multiplica $5$ por $8$ .

$\frac{(\sqrt{40} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Paso 12.1.2

Reescribe $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Paso 12.1.2.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$\frac{(\sqrt{4 (10)} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Paso 12.1.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(\sqrt{2^{2} \cdot 10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Paso 12.1.3

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{5 \cdot 8 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Paso 12.1.4

Multiplica $5$ por $8$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 1 \cdot 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Paso 12.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{40 - 2}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Paso 12.1.6

Resta $2$ de $40$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{8}}$

Paso 12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 12.2.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{4 (2)}}$

Paso 12.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 12.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8}{2 \sqrt{2}}$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 12.3.1

Factoriza $2$ de $(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 8$ .

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

Paso 12.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 (\sqrt{2})}$

Paso 12.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 ((2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4)}{2 \sqrt{2}}$

Paso 12.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \cdot 4}{\sqrt{2}}$

Paso 12.4

Mueve $4$ a la izquierda de $2 \sqrt{10} - \sqrt{38}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$

Paso 12.5

Multiplica $\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 12.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 12.6.1

Multiplica $\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38})}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 12.6.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 12.6.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 12.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 12.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 12.6.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 12.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 12.6.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 12.6.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.6.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.6.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 12.6.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 12.6.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{2}$

Paso 12.7

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 12.7.1

Factoriza $2$ de $4 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2}$

Paso 12.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 (1)}$

Paso 12.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Paso 12.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}}{1}$

Paso 12.7.2.4

Divide $2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$ por $1$ .

$2 \cdot (2 \sqrt{10} - \sqrt{38}) \sqrt{2}$

Paso 12.8

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 (2 \sqrt{10}) + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

Paso 12.9

Multiplica $2$ por $2$ .

$(4 \sqrt{10} + 2 (- \sqrt{38})) \sqrt{2}$

Paso 12.10

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(4 \sqrt{10} - 2 \sqrt{38}) \sqrt{2}$

Paso 12.11

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \sqrt{10} \sqrt{2} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Paso 12.12

Multiplica $4 \sqrt{10} \sqrt{2}$ .

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Paso 12.12.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$4 \sqrt{2 \cdot 10} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Paso 12.12.2

Multiplica $2$ por $10$ .

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$

Paso 12.13

Multiplica $- 2 \sqrt{38} \sqrt{2}$ .

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Paso 12.13.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2 \cdot 38}$

Paso 12.13.2

Multiplica $2$ por $38$ .

$4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{76}$

Paso 12.14

Simplifica cada término.

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Paso 12.14.1

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 12.14.1.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$4 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{76}$

Paso 12.14.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{76}$

Paso 12.14.2

Retira los términos de abajo del radical.

$4 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{76}$

Paso 12.14.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{76}$

Paso 12.14.4

Reescribe $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

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Paso 12.14.4.1

Factoriza $4$ de $76$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{4 (19)}$

Paso 12.14.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 19}$

Paso 12.14.5

Retira los términos de abajo del radical.

$8 \sqrt{5} - 2 (2 \sqrt{19})$

Paso 12.14.6

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{19}$

Forma decimal:

$0.45294804 \dots$