Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\ln (x - 7)} - \frac{1}{x - 8}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{1}{\ln (x - 7)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\ln (x - 7)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{1}{x - 8}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{1}{x - 8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\ln (x - 7)}{\ln (x - 7)}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\ln (x - 7)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{1}{x - 8} \cdot \frac{\ln (x - 7)}{\ln (x - 7)}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\ln (x - 7) (x - 8)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{\ln (x - 7)}$ por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\ln (x - 7) (x - 8)} - \frac{1}{x - 8} \cdot \frac{\ln (x - 7)}{\ln (x - 7)}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x - 8}$ por $\frac{\ln (x - 7)}{\ln (x - 7)}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\ln (x - 7) (x - 8)} - \frac{\ln (x - 7)}{(x - 8) \ln (x - 7)}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(x - 8) \ln (x - 7)$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\ln (x - 7) (x - 8)} - \frac{\ln (x - 7)}{\ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8 - \ln (x - 7)}{\ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 8} x - 8 - \ln (x - 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8 - lim_{x \to 8} \ln (x - 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 - lim_{x \to 8} \ln (x - 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 - \ln (lim_{x \to 8} x - 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 - \ln (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2.5

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 - \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8 - \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8 - \ln (8 - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.7.1.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{8 - 8 - \ln (8 - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2.7.1.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{8 - 8 - \ln (8 - 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2.7.1.3

Resta $7$ de $8$ .

$\frac{8 - 8 - \ln (1)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2.7.1.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{8 - 8 - 0}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{8 - 8 + 0}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2.7.2

Resta $8$ de $8$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.2.7.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 8}$

Paso 2.1.3.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 8} x - 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 8}$

Paso 2.1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 8}$

Paso 2.1.3.4

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 8}$

Paso 2.1.3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8)}$

Paso 2.1.3.6

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8)}$

Paso 2.1.3.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{0}{\ln (8 - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8)}$

Paso 2.1.3.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{0}{\ln (8 - 1 \cdot 7) \cdot (8 - 1 \cdot 8)}$

Paso 2.1.3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{0}{\ln (8 - 7) \cdot (8 - 1 \cdot 8)}$

Paso 2.1.3.8.2

Resta $7$ de $8$ .

$\frac{0}{\ln (1) \cdot (8 - 1 \cdot 8)}$

Paso 2.1.3.8.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (8 - 1 \cdot 8)}$

Paso 2.1.3.8.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{0}{0 \cdot (8 - 8)}$

Paso 2.1.3.8.5

Resta $8$ de $8$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Paso 2.1.3.8.6

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.8.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8 - \ln (x - 7)}{\ln (x - 7) (x - 8)} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x - 8 - \ln (x - 7)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x - 8 - \ln (x - 7)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 8 - \ln (x - 7)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- \ln (x - 7)]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- \ln (x - 7)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- \ln (x - 7)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.4

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x - 7)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (x - 7)]$ .

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Paso 2.3.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (x - 7)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x - 7$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 7])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.5.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 7])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 7} \frac{d}{d x} [x - 7])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 7} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 7} (1 + \frac{d}{d x} [- 7]))}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.5.5

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 7} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.5.6

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 7} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.5.7

Multiplica $\frac{1}{x - 7}$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - \frac{1}{x - 7}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.6

Combina los términos.

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Paso 2.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 - \frac{1}{x - 7}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.6.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 7}{x - 7} - \frac{1}{x - 7}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 7 - 1}{x - 7}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.6.4

Resta $1$ de $- 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \ln (x - 7)$ y $g (x) = x - 8$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Paso 2.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Paso 2.3.10

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Paso 2.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Paso 2.3.12

Multiplica $\ln (x - 7)$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Paso 2.3.13

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x - 7$ .

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Paso 2.3.13.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 7])}$

Paso 2.3.13.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 7])}$

Paso 2.3.13.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) (\frac{1}{x - 7} \frac{d}{d x} [x - 7])}$

Paso 2.3.14

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) \frac{1}{x - 7} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])}$

Paso 2.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) \frac{1}{x - 7} (1 + \frac{d}{d x} [- 7])}$

Paso 2.3.16

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) \frac{1}{x - 7} (1 + 0)}$

Paso 2.3.17

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) \frac{1}{x - 7} \cdot 1}$

Paso 2.3.18

Multiplica $x - 8$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) \frac{1}{x - 7}}$

Paso 2.3.19

Reordena los términos.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{(x - 8) \frac{1}{x - 7} + \ln (x - 7)}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{x - 7} \cdot \frac{1}{(x - 8) \frac{1}{x - 7} + \ln (x - 7)}$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{x - 8}{x - 7}$ por $\frac{1}{(x - 8) \frac{1}{x - 7} + \ln (x - 7)}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{(x - 7) ((x - 8) \frac{1}{x - 7} + \ln (x - 7))}$

Paso 2.6

Multiplica $x - 8$ por $\frac{1}{x - 7}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{(x - 7) (\frac{x - 8}{x - 7} + \ln (x - 7))}$

Paso 2.7

Combina los términos.

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Paso 2.7.1

Para escribir $\ln (x - 7)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{(x - 7) (\frac{x - 8}{x - 7} + \frac{\ln (x - 7) (x - 7)}{x - 7})}$

Paso 2.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{(x - 7) \frac{x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}{x - 7}}$

Paso 3

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 3.1

Multiplica $x - 7$ por $\frac{x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}{x - 7}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\frac{(x - 7) (x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7))}{x - 7}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x - 7$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\frac{(x - 7) (x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7))}{x - 7}}$

Paso 3.2.2

Divide $x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 8} x - 8}{lim_{x \to 8} x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Paso 4.1.2.1.2

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 8} x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Paso 4.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 8} x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 8} x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Paso 4.1.2.3.2

Resta $8$ de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8 + lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 7)}$

Paso 4.1.3.2

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 7)}$

Paso 4.1.3.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + lim_{x \to 8} \ln (x - 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 7}$

Paso 4.1.3.4

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + \ln (lim_{x \to 8} x - 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 7}$

Paso 4.1.3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + \ln (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 7}$

Paso 4.1.3.6

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 7}$

Paso 4.1.3.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 7)}$

Paso 4.1.3.8

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7)}$

Paso 4.1.3.9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8 + \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7)}$

Paso 4.1.3.9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8 + \ln (8 - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7)}$

Paso 4.1.3.9.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8 + \ln (8 - 1 \cdot 7) \cdot (8 - 1 \cdot 7)}$

Paso 4.1.3.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.3.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.10.1.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{0}{8 - 8 + \ln (8 - 1 \cdot 7) \cdot (8 - 1 \cdot 7)}$

Paso 4.1.3.10.1.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{0}{8 - 8 + \ln (8 - 7) \cdot (8 - 1 \cdot 7)}$

Paso 4.1.3.10.1.3

Resta $7$ de $8$ .

$\frac{0}{8 - 8 + \ln (1) \cdot (8 - 1 \cdot 7)}$

Paso 4.1.3.10.1.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{8 - 8 + 0 \cdot (8 - 1 \cdot 7)}$

Paso 4.1.3.10.1.5

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{0}{8 - 8 + 0 \cdot (8 - 7)}$

Paso 4.1.3.10.1.6

Resta $7$ de $8$ .

$\frac{0}{8 - 8 + 0 \cdot 1}$

Paso 4.1.3.10.1.7

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0}{8 - 8 + 0}$

Paso 4.1.3.10.2

Resta $8$ de $8$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 4.1.3.10.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.10.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.11

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.2

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x - 8]}{\frac{d}{d x} [x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x - 8]}{\frac{d}{d x} [x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)]}$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)]}$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)]}$

Paso 4.3.4

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)]}$

Paso 4.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)]}$

Paso 4.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 7)]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 7)]}$

Paso 4.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 7)]}$

Paso 4.3.8

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 7)]}$

Paso 4.3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 7)]$ .

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Paso 4.3.9.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \ln (x - 7)$ y $g (x) = x - 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) \frac{d}{d x} [x - 7] + (x - 7) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Paso 4.3.9.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x - 7) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Paso 4.3.9.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x - 7) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Paso 4.3.9.4

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Paso 4.3.9.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x - 7$ .

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Paso 4.3.9.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 7])}$

Paso 4.3.9.5.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 7])}$

Paso 4.3.9.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} \frac{d}{d x} [x - 7])}$

Paso 4.3.9.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))}$

Paso 4.3.9.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} (1 + \frac{d}{d x} [- 7]))}$

Paso 4.3.9.8

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} (1 + 0))}$

Paso 4.3.9.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) \cdot 1 + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} (1 + 0))}$

Paso 4.3.9.10

Multiplica $\ln (x - 7)$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} (1 + 0))}$

Paso 4.3.9.11

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} \cdot 1)}$

Paso 4.3.9.12

Multiplica $\frac{1}{x - 7}$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) + (x - 7) \frac{1}{x - 7}}$

Paso 4.3.10

Simplifica.

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Paso 4.3.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + \ln (x - 7) + (x - 7) \frac{1}{x - 7}}$

Paso 4.3.10.2

Reordena los términos.

$lim_{x \to 8} \frac{1}{(x - 7) \frac{1}{x - 7} + 1 + \ln (x - 7)}$

Paso 4.3.10.3

Cancela el factor común de $x - 7$ .

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Paso 4.3.10.3.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 8} \frac{1}{(x - 7) \frac{1}{x - 7} + 1 + \ln (x - 7)}$

Paso 4.3.10.3.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 1 + \ln (x - 7)}$

Paso 4.3.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{2 + \ln (x - 7)}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 2 + \ln (x - 7)}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} 2 + \ln (x - 7)}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \ln (x - 7)}$

Paso 5.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{1}{2 + lim_{x \to 8} \ln (x - 7)}$

Paso 5.5

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{1}{2 + \ln (lim_{x \to 8} x - 7)}$

Paso 5.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{1}{2 + \ln (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 7)}$

Paso 5.7

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{1}{2 + \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7)}$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{1}{2 + \ln (8 - 1 \cdot 7)}$

Paso 7

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{1}{2 + \ln (8 - 7)}$

Paso 7.2

Resta $7$ de $8$ .

$\frac{1}{2 + \ln (1)}$

Paso 7.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Paso 7.4

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$