Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{{(- 3)}^{x - 1}}{\sqrt{x}}}$

Paso 1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{{(- 3)}^{x - 1}}{\sqrt{x}}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} {(- 3)}^{x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Paso 3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Paso 6

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}$

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8}}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1}}{\sqrt{8}}}$

Paso 8.1.2

Resta $1$ de $8$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{7}}{\sqrt{8}}}$

Paso 8.1.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $7$ .

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{8}}}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 8.2.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{4 (2)}}}$

Paso 8.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}$

Paso 8.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{\frac{- 2187}{2 \sqrt{2}}}$

Paso 8.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\sqrt{- \frac{2187}{2 \sqrt{2}}}$

Paso 8.4

Multiplica $\frac{2187}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{- (\frac{2187}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}$

Paso 8.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.5.1

Multiplica $\frac{2187}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Paso 8.5.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}$

Paso 8.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}$

Paso 8.5.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}$

Paso 8.5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Paso 8.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}}$

Paso 8.5.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.5.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Paso 8.5.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Paso 8.5.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 8.5.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.5.7.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 8.5.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}}$

Paso 8.5.7.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Paso 8.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{4}}$

Paso 8.7

Reescribe $- \frac{2187 \sqrt{2}}{4}$ como ${(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot (3 \sqrt{2})$ .

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Paso 8.7.1

Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{2187 \sqrt{2}}{4}}$

Paso 8.7.2

Factoriza la potencia perfecta $27^{2}$ de $2187 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{4}}$

Paso 8.7.3

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 8.7.4

Reorganiza la fracción $\frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{i^{2} ({(\frac{27}{2})}^{2} (3 \sqrt{2}))}$

Paso 8.7.5

Reescribe $i^{2} {(\frac{27}{2})}^{2}$ como ${(\frac{27 i}{2})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot 3 \sqrt{2}}$

Paso 8.7.6

Agrega paréntesis.

$\sqrt{{(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}$

Paso 8.8

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{27 i}{2} \sqrt{3 \sqrt{2}}$

Paso 8.9

Combina $\frac{27 i}{2}$ y $\sqrt{3 \sqrt{2}}$ .

$\frac{27 i \sqrt{3 \sqrt{2}}}{2}$