Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{3 x^{2} + 5}{6 x - 8}}$

Paso 1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{3 x^{2} + 5}{6 x - 8}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{2} + 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{2} + lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Paso 4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Paso 5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5}{lim_{x \to 8} 6 x - lim_{x \to 8} 8}}$

Paso 8

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5}{6 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8}}$

Paso 9

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5}{6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 \cdot 8^{2} + 5}{6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 \cdot 8^{2} + 5}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 \cdot 64 + 5}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Paso 11.2

Multiplica $3$ por $64$ .

$\sqrt[3]{\frac{192 + 5}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Paso 11.3

Suma $192$ y $5$ .

$\sqrt[3]{\frac{197}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Paso 11.4

Multiplica $6$ por $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{197}{48 - 1 \cdot 8}}$

Paso 11.5

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{197}{48 - 8}}$

Paso 11.6

Resta $8$ de $48$ .

$\sqrt[3]{\frac{197}{40}}$

Paso 11.7

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{197}{40}}$ como $\frac{\sqrt[3]{197}}{\sqrt[3]{40}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197}}{\sqrt[3]{40}}$

Paso 11.8

Simplifica el denominador.

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Paso 11.8.1

Reescribe $40$ como $2^{3} \cdot 5$ .

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Paso 11.8.1.1

Factoriza $8$ de $40$ .

$\frac{\sqrt[3]{197}}{\sqrt[3]{8 (5)}}$

Paso 11.8.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197}}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 5}}$

Paso 11.8.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\sqrt[3]{197}}{2 \sqrt[3]{5}}$

Paso 11.9

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{197}}{2 \sqrt[3]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197}}{2 \sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Paso 11.10

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 11.10.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{197}}{2 \sqrt[3]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Paso 11.10.2

Mueve $\sqrt[3]{5}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 (\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2})}$

Paso 11.10.3

Eleva $\sqrt[3]{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 ({\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2})}$

Paso 11.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Paso 11.10.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 {\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Paso 11.10.6

Reescribe ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ como $5$ .

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Paso 11.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{5}$ como $5^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 {(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 11.10.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 11.10.6.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{3}}}$

Paso 11.10.6.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 11.10.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5^{\frac{3}{3}}}$

Paso 11.10.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5^{1}}$

Paso 11.10.6.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\sqrt[3]{197} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{2 \cdot 5}$

Paso 11.11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.11.1

Reescribe ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ como $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} \sqrt[3]{5^{2}}}{2 \cdot 5}$

Paso 11.11.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} \sqrt[3]{25}}{2 \cdot 5}$

Paso 11.12

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{\sqrt[3]{197} \sqrt[3]{25}}{10}$

Paso 11.13

Simplifica el numerador.

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Paso 11.13.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt[3]{197 \cdot 25}}{10}$

Paso 11.13.2

Multiplica $197$ por $25$ .

$\frac{\sqrt[3]{4925}}{10}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt[3]{4925}}{10}$

Forma decimal:

$1.70138295 \dots$