Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{\ln (x) \ln (x)}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (x^{\frac{1}{2}})}{lim_{x \to 8} \ln (x) \ln (x)}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{2}})}{lim_{x \to 8} \ln (x) \ln (x)}$

Paso 3

Mueve el exponente $\frac{1}{2}$ de $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{2}})}{lim_{x \to 8} \ln (x) \ln (x)}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{2}})}{lim_{x \to 8} \ln (x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Paso 5

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{2}})}{\ln (lim_{x \to 8} x) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Paso 6

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{2}})}{\ln (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Paso 7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\ln (8^{\frac{1}{2}})}{\ln (lim_{x \to 8} x) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Paso 7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\ln (8^{\frac{1}{2}})}{\ln (8) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Paso 7.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{\ln (8^{\frac{1}{2}})}{\ln (8) \cdot \ln (8)}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Expande $\ln (8^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{\frac{1}{2} \ln (8)}{\ln (8) \cdot \ln (8)}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $\ln (8)$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{1}{2} \ln (8)}{\ln (8) \cdot \ln (8)}$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1}{2}}{\ln (8)}$

Paso 8.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (8)}$

Paso 8.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{\ln (8)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (8)}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2 \ln (8)}$

Forma decimal:

$0.24044917 \dots$