Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} (\frac{4}{3 x^{3}}) (2 x \cdot x \cdot x + 3 x \cdot x + x)$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$lim_{x \to 8} \frac{4}{3 x^{3}} \cdot lim_{x \to 8} 2 x \cdot x \cdot x + 3 x \cdot x + x$

Paso 2

Mueve el término $\frac{4}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4}{3} lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{3}} \cdot lim_{x \to 8} 2 x \cdot x \cdot x + 3 x \cdot x + x$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{3}} \cdot lim_{x \to 8} 2 x \cdot x \cdot x + 3 x \cdot x + x$

Paso 4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{3}} \cdot lim_{x \to 8} 2 x \cdot x \cdot x + 3 x \cdot x + x$

Paso 5

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} \cdot lim_{x \to 8} 2 x \cdot x \cdot x + 3 x \cdot x + x$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} \cdot (lim_{x \to 8} 2 x \cdot x \cdot x + lim_{x \to 8} 3 x \cdot x + lim_{x \to 8} x)$

Paso 7

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} \cdot (2 lim_{x \to 8} x \cdot x \cdot x + lim_{x \to 8} 3 x \cdot x + lim_{x \to 8} x)$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} \cdot (2 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3 x \cdot x + lim_{x \to 8} x)$

Paso 9

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} \cdot (2 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x \cdot x + lim_{x \to 8} x)$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} \cdot (2 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x)$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x)$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x)$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x)$

Paso 11.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x)$

Paso 11.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x)$

Paso 11.6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + lim_{x \to 8} x)$

Paso 11.7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Combinar.

$\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Paso 12.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4}{3 \cdot 8^{3}} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Paso 12.3

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4}{3 \cdot 512} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Paso 12.4

Multiplica $3$ por $512$ .

$\frac{4}{1536} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Paso 12.5

Cancela el factor común de $4$ y $1536$ .

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Paso 12.5.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{1536} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Paso 12.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.5.2.1

Factoriza $4$ de $1536$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 384} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Paso 12.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 384} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Paso 12.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{384} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

$\frac{1}{384} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

$\frac{1}{384} \cdot (2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Paso 12.6

Simplifica cada término.

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Paso 12.6.1

Multiplica $2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$ .

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Paso 12.6.1.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{1}{384} \cdot (16 \cdot 8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Paso 12.6.1.2

Multiplica $16$ por $8$ .

$\frac{1}{384} \cdot (128 \cdot 8 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Paso 12.6.1.3

Multiplica $128$ por $8$ .

$\frac{1}{384} \cdot (1024 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

$\frac{1}{384} \cdot (1024 + 3 \cdot 8 \cdot 8 + 8)$

Paso 12.6.2

Multiplica $3 \cdot 8 \cdot 8$ .

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Paso 12.6.2.1

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{1}{384} \cdot (1024 + 24 \cdot 8 + 8)$

Paso 12.6.2.2

Multiplica $24$ por $8$ .

$\frac{1}{384} \cdot (1024 + 192 + 8)$

$\frac{1}{384} \cdot (1024 + 192 + 8)$

$\frac{1}{384} \cdot (1024 + 192 + 8)$

Paso 12.7

Suma $1024$ y $192$ .

$\frac{1}{384} \cdot (1216 + 8)$

Paso 12.8

Suma $1216$ y $8$ .

$\frac{1}{384} \cdot 1224$

Paso 12.9

Cancela el factor común de $24$ .

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Paso 12.9.1

Factoriza $24$ de $384$ .

$\frac{1}{24 (16)} \cdot 1224$

Paso 12.9.2

Factoriza $24$ de $1224$ .

$\frac{1}{24 \cdot 16} \cdot (24 \cdot 51)$

Paso 12.9.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{24 \cdot 16} \cdot (24 \cdot 51)$

Paso 12.9.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{16} \cdot 51$

$\frac{1}{16} \cdot 51$

Paso 12.10

Combina $\frac{1}{16}$ y $51$ .

$\frac{51}{16}$

$\frac{51}{16}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{51}{16}$

Forma decimal:

$3.1875$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$