Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{2} - 16}{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Paso 3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Paso 7

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Paso 9

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Paso 10

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 8} x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Paso 11

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Paso 12

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 16}}$

Paso 13

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Paso 14

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Paso 15

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Paso 16

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 16.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Paso 16.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Paso 16.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Paso 16.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Paso 17

Simplifica la respuesta.

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Paso 17.1

Simplifica el numerador.

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Paso 17.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 \cdot 64 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Paso 17.1.2

Multiplica $4$ por $64$ .

$\frac{256 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Paso 17.1.3

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{256 - 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Paso 17.1.4

Resta $16$ de $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Paso 17.2

Simplifica el denominador.

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Paso 17.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Paso 17.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 64} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Paso 17.2.3

Multiplica $4$ por $64$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 256} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Paso 17.2.4

Suma $4096$ y $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{4352} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Paso 17.2.5

Reescribe $4352$ como $16^{2} \cdot 17$ .

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Paso 17.2.5.1

Factoriza $256$ de $4352$ .

$\frac{240}{\sqrt{256 (17)} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Paso 17.2.5.2

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$\frac{240}{\sqrt{16^{2} \cdot 17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Paso 17.2.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Paso 17.2.7

Eleva $8$ a la potencia de $4$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4096 + 16}}$

Paso 17.2.8

Suma $4096$ y $16$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4112}}$

Paso 17.2.9

Reescribe $4112$ como $4^{2} \cdot 257$ .

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Paso 17.2.9.1

Factoriza $16$ de $4112$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{16 (257)}}$

Paso 17.2.9.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4^{2} \cdot 257}}$

Paso 17.2.10

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - (4 \sqrt{257})}$

Paso 17.2.11

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Paso 17.3

Cancela el factor común de $240$ y $16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}$ .

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Paso 17.3.1

Factoriza $4$ de $240$ .

$\frac{4 (60)}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Paso 17.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.3.2.1

Factoriza $4$ de $16 \sqrt{17}$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) - 4 \sqrt{257}}$

Paso 17.3.2.2

Factoriza $4$ de $- 4 \sqrt{257}$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})}$

Paso 17.3.2.3

Factoriza $4$ de $4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})$ .

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Paso 17.3.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 60}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Paso 17.3.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$

Paso 17.4

Multiplica $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ por $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}} \cdot \frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$

Paso 17.5

Multiplica $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ por $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{(4 \sqrt{17} - \sqrt{257}) (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}$

Paso 17.6

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{16 {\sqrt{17}}^{2} + 4 \sqrt{4369} - 4 \sqrt{4369} - {\sqrt{257}}^{2}}$

Paso 17.7

Simplifica.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{15}$

Paso 17.8

Cancela el factor común de $60$ y $15$ .

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Paso 17.8.1

Factoriza $15$ de $60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ .

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15}$

Paso 17.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 17.8.2.1

Factoriza $15$ de $15$ .

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 (1)}$

Paso 17.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 \cdot 1}$

Paso 17.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{1}$

Paso 17.8.2.4

Divide $4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ por $1$ .

$4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$

Paso 17.9

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (4 \sqrt{17}) + 4 \sqrt{257}$

Paso 17.10

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Paso 18

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Forma decimal:

$130.09456817 \dots$