Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} (1 + \sqrt[3]{x}) (2 - 6 x^{x^{3}})$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$lim_{x \to 8} 1 + \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{x^{3}}$

Paso 1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$(lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{x^{3}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$(1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{x^{3}}$

Paso 1.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{x^{3}}$

Paso 1.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 6 x^{x^{3}})$

Paso 1.6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - lim_{x \to 8} 6 x^{x^{3}})$

Paso 1.7

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 lim_{x \to 8} x^{x^{3}})$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe $x^{x^{3}}$ como $e^{\ln (x^{x^{3}})}$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{x^{3}})})$

Paso 2.2

Expande $\ln (x^{x^{3}})$ ; para ello, mueve $x^{3}$ fuera del logaritmo.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 lim_{x \to 8} e^{x^{3} \ln (x)})$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 e^{lim_{x \to 8} x^{3} \ln (x)})$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 e^{lim_{x \to 8} x^{3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Paso 3.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 e^{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Paso 3.4

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 e^{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 e^{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (8)})$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$(1 + \sqrt[3]{2^{3}}) \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (8)})$

Paso 5.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$(1 + 2) \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (8)})$

Paso 5.2

Suma $1$ y $2$ .

$3 \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (8)})$

Paso 5.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$3 \cdot (2 - 6 e^{512 \cdot \ln (8)})$

Paso 5.3.2

Simplifica $512 \cdot \ln (8)$ al mover $512$ dentro del algoritmo.

$3 \cdot (2 - 6 e^{\ln (8^{512})})$

Paso 5.3.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$3 \cdot (2 - 6 \cdot 8^{512})$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 2 + 3 (- 6 \cdot 8^{512})$

Paso 5.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 + 3 (- 6 \cdot 8^{512})$

Paso 5.6

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$6 - 18 \cdot 8^{512}$