Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 3 x - 10}{5 x^{2} - 10 x + 25}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 3 x - 10}{lim_{x \to 5} 5 x^{2} - 10 x + 25}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 3 x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} 5 x^{2} - 10 x + 25}$

Paso 3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 3 x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} 5 x^{2} - 10 x + 25}$

Paso 4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} 5 x^{2} - 10 x + 25}$

Paso 5

Evalúa el límite de $10$ que es constante cuando $x$ se acerca a $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} 5 x^{2} - 10 x + 25}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to 5} 5 x^{2} - lim_{x \to 5} 10 x + lim_{x \to 5} 25}$

Paso 7

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{5 lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 10 x + lim_{x \to 5} 25}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{5 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 10 x + lim_{x \to 5} 25}$

Paso 9

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{5 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 25}$

Paso 10

Evalúa el límite de $25$ que es constante cuando $x$ se acerca a $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{5 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x + 25}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $5$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{5^{2} - 3 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 10}{5 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x + 25}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{5^{2} - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{5 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 5} x + 25}$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{5^{2} - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{5 \cdot 5^{2} - 10 lim_{x \to 5} x + 25}$

Paso 11.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $5$ para $x$ .

$\frac{5^{2} - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Cancela el factor común de $5^{2} - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10$ y $5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25$ .

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Paso 12.1.1

Factoriza $- 1$ de $5^{2}$ .

$\frac{- 1 (- 5^{2}) - 3 \cdot 5 - 1 \cdot 10}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Paso 12.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 \cdot 5$ .

$\frac{- 1 (- 5^{2}) - (3 \cdot 5) - 1 \cdot 10}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Paso 12.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 5^{2}) - (3 \cdot 5)$ .

$\frac{- 1 (- 5^{2} + 3 \cdot 5) - 1 \cdot 10}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Paso 12.1.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 \cdot 10$ .

$\frac{- 1 (- 5^{2} + 3 \cdot 5) - 1 (10)}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Paso 12.1.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 5^{2} + 3 \cdot 5) - 1 (10)$ .

$\frac{- 1 (- 5^{2} + 3 \cdot 5 + 10)}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Paso 12.1.6

Factoriza $5$ de $- 1 (- 5^{2} + 3 \cdot 5 + 10)$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 \cdot 5^{2} - 10 \cdot 5 + 25}$

Paso 12.1.7

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1.7.1

Factoriza $5$ de $5 \cdot 5^{2}$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 (5^{2}) - 10 \cdot 5 + 25}$

Paso 12.1.7.2

Factoriza $5$ de $- 10 \cdot 5$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 (5^{2}) + 5 (- 2 \cdot 5) + 25}$

Paso 12.1.7.3

Factoriza $5$ de $5 (5^{2}) + 5 (- 2 \cdot 5)$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 (5^{2} - 2 \cdot 5) + 25}$

Paso 12.1.7.4

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 (5^{2} - 2 \cdot 5) + 5 (5)}$

Paso 12.1.7.5

Factoriza $5$ de $5 (5^{2} - 2 \cdot 5) + 5 (5)$ .

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 (5^{2} - 2 \cdot 5 + 5)}$

Paso 12.1.7.6

Cancela el factor común.

$\frac{5 (- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2))}{5 (5^{2} - 2 \cdot 5 + 5)}$

Paso 12.1.7.7

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 5 + 3 + 2)}{5^{2} - 2 \cdot 5 + 5}$

Paso 12.2

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{- 1 (- 5 + 3 + 2)}{5^{2} - 2 \cdot 5 + 5}$

Paso 12.2.2

Suma $- 5$ y $3$ .

$\frac{- 1 (- 2 + 2)}{5^{2} - 2 \cdot 5 + 5}$

Paso 12.2.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{5^{2} - 2 \cdot 5 + 5}$

Paso 12.3

Simplifica el denominador.

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Paso 12.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{25 - 2 \cdot 5 + 5}$

Paso 12.3.2

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{25 - 10 + 5}$

Paso 12.3.3

Resta $10$ de $25$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{15 + 5}$

Paso 12.3.4

Suma $15$ y $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{20}$

Paso 12.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{20}$

Paso 12.5

Divide $0$ por $20$ .

$0$