Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 5} (\frac{8^{3 x}}{x - 5}) + \frac{8^{15}}{x - 5}$

Paso 1

Combina las fracciones mediante un denominador común.

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Paso 1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 5} \frac{8^{3 x} + 8^{15}}{x - 5}$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $8^{3 x}$ como ${(8^{x})}^{3}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{{(8^{x})}^{3} + 8^{15}}{x - 5}$

Paso 1.2.2

Reescribe $8^{15}$ como ${(8^{5})}^{3}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{{(8^{x})}^{3} + {(8^{5})}^{3}}{x - 5}$

Paso 1.2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 8^{x}$ y $b = 8^{5}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 8^{5}) ({(8^{x})}^{2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Eleva $8$ a la potencia de $5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) ({(8^{x})}^{2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.2.4.2

Multiplica los exponentes en ${(8^{x})}^{2}$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{x \cdot 2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.2.4.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $8^{x}$ por $8^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.4.3.1

Mueve $8^{5}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - (8^{5} \cdot 8^{x}) + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.2.4.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Paso 1.2.4.4

Multiplica los exponentes en ${(8^{5})}^{2}$ .

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Paso 1.2.4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 8^{5 \cdot 2})}{x - 5}$

Paso 1.2.4.4.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 8^{10})}{x - 5}$

Paso 1.2.4.5

Eleva $8$ a la potencia de $10$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 1073741824)}{x - 5}$

Paso 1.2.4.6

Reordena los términos.

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} + 1073741824 - 8^{5 + x})}{x - 5}$

Paso 2

Como la función se acerca a $- \infty$ desde la izquierda y a $\infty$ desde la derecha, el límite no existe.

$No existe$