Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{6 x - 21 x^{3} + 11}{\sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x - 21 x^{3} + 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x - lim_{x \to 8} 21 x^{3} + lim_{x \to 8} 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Paso 3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 21 x^{3} + lim_{x \to 8} 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Paso 4

Mueve el término $21$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Paso 5

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $11$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + 3 x^{3}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{lim_{x \to 8} \sqrt{x} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}$

Paso 8

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}$

Paso 9

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + 3 lim_{x \to 8} x^{3}}$

Paso 10

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{6 lim_{x \to 8} x - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{6 \cdot 8 - 21 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{6 \cdot 8 - 21 \cdot 8^{3} + 11}{\sqrt{lim_{x \to 8} x} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{6 \cdot 8 - 21 \cdot 8^{3} + 11}{\sqrt{8} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}$

Paso 11.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{6 \cdot 8 - 21 \cdot 8^{3} + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

Multiplica $6$ por $8$ .

$\frac{48 - 21 \cdot 8^{3} + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Paso 12.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{48 - 21 \cdot 512 + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Paso 12.1.3

Multiplica $- 21$ por $512$ .

$\frac{48 - 10752 + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Paso 12.1.4

Resta $10752$ de $48$ .

$\frac{- 10704 + 11}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Paso 12.1.5

Suma $- 10704$ y $11$ .

$\frac{- 10693}{\sqrt{8} + 3 \cdot 8^{3}}$

Paso 12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 12.2.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{- 10693}{\sqrt{4 (2)} + 3 \cdot 8^{3}}$

Paso 12.2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{- 10693}{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 \cdot 8^{3}}$

Paso 12.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{- 10693}{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 8^{3}}$

Paso 12.2.3

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{- 10693}{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 512}$

Paso 12.2.4

Multiplica $3$ por $512$ .

$\frac{- 10693}{2 \sqrt{2} + 1536}$

Paso 12.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10693}{2 \sqrt{2} + 1536}$

Paso 12.4

Multiplica $\frac{10693}{2 \sqrt{2} + 1536}$ por $\frac{2 \sqrt{2} - 1536}{2 \sqrt{2} - 1536}$ .

$- (\frac{10693}{2 \sqrt{2} + 1536} \cdot \frac{2 \sqrt{2} - 1536}{2 \sqrt{2} - 1536})$

Paso 12.5

Multiplica $\frac{10693}{2 \sqrt{2} + 1536}$ por $\frac{2 \sqrt{2} - 1536}{2 \sqrt{2} - 1536}$ .

$- \frac{10693 (2 \sqrt{2} - 1536)}{(2 \sqrt{2} + 1536) (2 \sqrt{2} - 1536)}$

Paso 12.6

Expande el denominador con el método PEIU.

$- \frac{10693 (2 \sqrt{2} - 1536)}{4 {\sqrt{2}}^{2} - 3072 \sqrt{2} + 3072 \sqrt{2} - 2359296}$

Paso 12.7

Simplifica.

$- \frac{10693 (2 \sqrt{2} - 1536)}{- 2359288}$

Paso 12.8

Cancela el factor común de $2 \sqrt{2} - 1536$ y $- 2359288$ .

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Paso 12.8.1

Factoriza $2$ de $10693 (2 \sqrt{2} - 1536)$ .

$- \frac{2 (10693 (\sqrt{2} - 768))}{- 2359288}$

Paso 12.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.8.2.1

Factoriza $2$ de $- 2359288$ .

$- \frac{2 (10693 (\sqrt{2} - 768))}{2 (- 1179644)}$

Paso 12.8.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 (10693 (\sqrt{2} - 768))}{2 \cdot - 1179644}$

Paso 12.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{- 1179644}$

Paso 12.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$

Paso 12.10

Multiplica $- - \frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$ .

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Paso 12.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$

Paso 12.10.2

Multiplica $\frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$ por $1$ .

$\frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{10693 (\sqrt{2} - 768)}{1179644}$

Forma decimal:

$- 6.94879286 \dots$