Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 8} \frac{4 e^{x} - e^{- x}}{e^{x} - 5 e^{- x}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 4 e^{x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Paso 3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Paso 4

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} e^{- x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Paso 5

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{lim_{x \to - 8} - x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Paso 6

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 5 e^{- x}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 8$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 5 e^{- x}}$

Paso 8

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 5 e^{- x}}$

Paso 9

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 lim_{x \to - 8} e^{- x}}$

Paso 10

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{lim_{x \to - 8} - x}}$

Paso 11

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 e^{lim_{x \to - 8} x} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{- lim_{x \to - 8} x}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Paso 12.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Paso 12.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 8$ para $x$ .

$\frac{4 e^{- 8} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Reescribe $4 e^{- 8}$ como ${(2 e^{- 4})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e^{- 4})}^{2} - e^{8}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.2

Reescribe $e^{8}$ como ${(e^{4})}^{2}$ .

$\frac{{(2 e^{- 4})}^{2} - {(e^{4})}^{2}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 e^{- 4}$ y $b = e^{4}$ .

$\frac{(2 e^{- 4} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.4

Simplifica.

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Paso 13.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 \frac{1}{e^{4}} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.4.2

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (2 e^{- 4} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (2 \frac{1}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.4.4

Combina $2$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + e^{4}) (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.5

Para escribir $e^{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$\frac{(\frac{2}{e^{4}} + \frac{e^{4} e^{4}}{e^{4}}) (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 + e^{4} e^{4}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.7

Multiplica $e^{4}$ por $e^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.7.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 + e^{4 + 4}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.7.2

Suma $4$ y $4$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.8

Para escribir $- e^{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} - e^{4} \cdot \frac{e^{4}}{e^{4}})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.9

Combina $- e^{4}$ y $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} (\frac{2}{e^{4}} + \frac{- e^{4} e^{4}}{e^{4}})}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{4} e^{4}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.11

Multiplica $e^{4}$ por $e^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.11.1

Mueve $e^{4}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - (e^{4} e^{4})}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.11.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{4 + 4}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.1.11.3

Suma $4$ y $4$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{e^{- 8} - 5 e^{8}}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} - 5 e^{8}}$

Paso 13.2.2

Para escribir $- 5 e^{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} - 5 e^{8} \cdot \frac{e^{8}}{e^{8}}}$

Paso 13.2.3

Combina $- 5 e^{8}$ y $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1}{e^{8}} + \frac{- 5 e^{8} e^{8}}{e^{8}}}$

Paso 13.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{8} e^{8}}{e^{8}}}$

Paso 13.2.5

Multiplica $e^{8}$ por $e^{8}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.2.5.1

Mueve $e^{8}$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 (e^{8} e^{8})}{e^{8}}}$

Paso 13.2.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{8 + 8}}{e^{8}}}$

Paso 13.2.5.3

Suma $8$ y $8$ .

$\frac{\frac{2 + e^{8}}{e^{4}} \cdot \frac{2 - e^{8}}{e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Paso 13.3

Multiplica $\frac{2 + e^{8}}{e^{4}}$ por $\frac{2 - e^{8}}{e^{4}}$ .

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{4} e^{4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Paso 13.4

Multiplica $e^{4}$ por $e^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{4 + 4}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Paso 13.4.2

Suma $4$ y $4$ .

$\frac{\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}}}{\frac{1 - 5 e^{16}}{e^{8}}}$

Paso 13.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}} \cdot \frac{e^{8}}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.6

Cancela el factor común de $e^{8}$ .

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Paso 13.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{e^{8}} \cdot \frac{e^{8}}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.6.2

Reescribe la expresión.

$(2 + e^{8}) (2 - e^{8}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.7

Expande $(2 + e^{8}) (2 - e^{8})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 13.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 (2 - e^{8}) + e^{8} (2 - e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \cdot 2 + 2 (- e^{8}) + e^{8} (2 - e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \cdot 2 + 2 (- e^{8}) + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 13.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.8.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$(4 + 2 (- e^{8}) + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.8.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(4 - 2 e^{8} + e^{8} \cdot 2 + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.8.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{8}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 \cdot e^{8} + e^{8} (- e^{8})) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.8.1.4

Multiplica $e^{8}$ por $e^{8}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.8.1.4.1

Mueve $e^{8}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{8} e^{8} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.8.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{8 + 8} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.8.1.4.3

Suma $8$ y $8$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} + e^{16} \cdot - 1) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.8.1.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{16}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} - 1 \cdot e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.8.1.6

Reescribe $- 1 e^{16}$ como $- e^{16}$ .

$(4 - 2 e^{8} + 2 e^{8} - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.8.2

Suma $- 2 e^{8}$ y $2 e^{8}$ .

$(4 + 0 - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.8.3

Suma $4$ y $0$ .

$(4 - e^{16}) \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.9

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \frac{1}{1 - 5 e^{16}} - e^{16} \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.10

Combina $4$ y $\frac{1}{1 - 5 e^{16}}$ .

$\frac{4}{1 - 5 e^{16}} - e^{16} \frac{1}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.11

Combina $\frac{1}{1 - 5 e^{16}}$ y $e^{16}$ .

$\frac{4}{1 - 5 e^{16}} - \frac{e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 - e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.13

Simplifica el numerador.

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Paso 13.13.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - e^{16}}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.13.2

Reescribe $e^{16}$ como ${(e^{8})}^{2}$ .

$\frac{2^{2} - {(e^{8})}^{2}}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 13.13.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = e^{8}$ .

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{1 - 5 e^{16}}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{(2 + e^{8}) (2 - e^{8})}{1 - 5 e^{16}}$

Forma decimal:

$0.19999991 \dots$