Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{3} + 8}{4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x^{3} + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Paso 3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Paso 4

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{lim_{x \to 8} 4 x^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Paso 7

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Paso 8

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} \sqrt{64 x^{6} + 1}}$

Paso 9

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{lim_{x \to 8} 64 x^{6} + 1}}$

Paso 10

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{lim_{x \to 8} 64 x^{6} + lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 11

Mueve el término $64$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 lim_{x \to 8} x^{6} + lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 12

Mueve el exponente $6$ de $x^{6}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + lim_{x \to 8} 1}}$

Paso 13

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 1}}$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 14.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{3} + 8}{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 1}}$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{3} + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 {(lim_{x \to 8} x)}^{6} + 1}}$

Paso 14.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 8^{3} + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 1}}$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3 \cdot 512 + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 1}}$

Paso 15.1.2

Multiplica $3$ por $512$ .

$\frac{1536 + 8}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 1}}$

Paso 15.1.3

Suma $1536$ y $8$ .

$\frac{1544}{4 \cdot 8^{3} + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 1}}$

Paso 15.2

Simplifica el denominador.

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Paso 15.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1544}{4 \cdot 512 + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 1}}$

Paso 15.2.2

Multiplica $4$ por $512$ .

$\frac{1544}{2048 + \sqrt{64 \cdot 8^{6} + 1}}$

Paso 15.2.3

Eleva $8$ a la potencia de $6$ .

$\frac{1544}{2048 + \sqrt{64 \cdot 262144 + 1}}$

Paso 15.2.4

Multiplica $64$ por $262144$ .

$\frac{1544}{2048 + \sqrt{16777216 + 1}}$

Paso 15.2.5

Suma $16777216$ y $1$ .

$\frac{1544}{2048 + \sqrt{16777217}}$

Paso 15.3

Multiplica $\frac{1544}{2048 + \sqrt{16777217}}$ por $\frac{2048 - \sqrt{16777217}}{2048 - \sqrt{16777217}}$ .

$\frac{1544}{2048 + \sqrt{16777217}} \cdot \frac{2048 - \sqrt{16777217}}{2048 - \sqrt{16777217}}$

Paso 15.4

Multiplica $\frac{1544}{2048 + \sqrt{16777217}}$ por $\frac{2048 - \sqrt{16777217}}{2048 - \sqrt{16777217}}$ .

$\frac{1544 (2048 - \sqrt{16777217})}{(2048 + \sqrt{16777217}) (2048 - \sqrt{16777217})}$

Paso 15.5

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{1544 (2048 - \sqrt{16777217})}{4194304 - 2048 \sqrt{16777217} + \sqrt{16777217} \cdot 2048 - {\sqrt{16777217}}^{2}}$

Paso 15.6

Simplifica.

$\frac{1544 (2048 - \sqrt{16777217})}{- 12582913}$

Paso 15.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1544 (2048 - \sqrt{16777217})}{12582913}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1544 (2048 - \sqrt{16777217})}{12582913}$

Forma decimal:

$0.25130207 \dots$